Espai mètric complet

Definició

En anàlisis matemàtic, un espai mètric $(X,d)$ es diu que és complet si tota successió de Cauchy continguda en $X$ convergix a un element de $X$, és dir, existix un element de l'espai que és el llímit de la successió.

L'idea intuïtiva d'este concepte és que no hi ha res "pegat" a $X$ i que no estiga en $(X,d)$.

L'importància dels espais complets radica que, en freqüència, per a demostrar que una successió és convergent és molt més fàcil demostrar que la successió és de Cauchy, que demostrar directament que la successió és convergent perque per a demostrar que una successió és de Cauchy no es necessita conéixer el valor al que convergix.

Una volta provada que la successió és de Cauchy, per la completitud de l'espai, es colige que la successió convergix. S'han pogut construir en ells métodos poderosos per a demostrar l'existència de solucions d'equacions (v.) numèriques, diferencials o integrals en determinades condicions inicials.

Eixemples

• El conjunt dels número real, $ℝ$, és complet en la mètrica habitual induïda pel valor absolut.

• No obstant, $ℝ\setminus \{0\}$ deixa de ser-ho: la successió $a_n=n^{-1}$ és de Cauchy pero no convergix, puix el seu llímit en els reals, el zero, està exclós del conjunt.

• Estenent l'eixemple anterior, els intervals acotats i oberts o semiabiertos de $ℝ$, presos com a espais mètrics, en la mètrica induïda dels reals, no són complets.

• No obstant, tot interval tancat dels reals és complet. En general, tot conjunt tancat i acotat en ${ℝ}^n$ per a $n\in \mathbb{N}$ finito és complet. Esta afirmació no es complix necessàriament en dimensió infinita.

• Un atre espai no complet és l'espai format pel conjunt dels número racional ($\mathbb{Q}$) en la mètrica heretada dels reals (que és l'induïda pel valor absolut). Efectivament, existixen successions d'número racional que convergixen a número irracional. Per ser successions convergents (a lo manco, dins de $ℝ$), són de Cauchy. Pero el seu llímit no és racional, és dir, està fòra de l'espai considerat.

Vore també

• Espai de Banach, que és un espai normado i complet en la distància induïda per la seua norma.
• Espai de Hilbert, que és un espai de Banach la norma del qual està induïda per un producte escalar.

Bibliografia

• Kelley, John L. (1975). General Topology, Springer. ISBN 0-387-90125-6.
• Kreyszig, Erwin, Introductory functional analysis with applications (Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
• Lang, Serge, "Real and Functional Analysis" ISBN 0-387-94001-4