Successió de Cauchy

Agustin Louis Cauchy, matemàtic francés

En matemàtiques, una successió de Cauchy és una successió tal que per a qualsevol distància donada, per molt chicoteta que siga (cridada habitualment en la lletra ε, un real positiu arbitrariamente menut), sempre es pot trobar un terme de la successió tal que, posterior a ell, la distància entre dos térmens qualssevol és menor que la donada, ε. És important no confondre-ho en les successions en les que la distància entre dos térmens consecutius és cada volta menor, puix les mateixes no són convergents necessàriament. Es diu aixina en honor al matemàtic francés Augustin Louis Cauchy. L'interés de les successions de Cauchy radica que en un espai mètric complet totes les successions de Cauchy són convergents, sent en general més fàcil verificar que una successió és de Cauchy que obtindre el punt de convergència.

Tipos de successions matemàtiques

En la recta real

Definició

Siga $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ una successió. Direm que $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ és de Cauchy, si para tot número real $\epsilon >0$ existix un sancer positiu $N$ tal que para tots els número natural $m,n>N$

$|x_m-x_n|<\epsilon$

a on la barra vertical denota la norma (que en el cas particular del cos dels reals seria el valor absolut).

Análogament, es poden definir successions de Cauchy d'número complejo.

Propietats

Les successions de Cauchy d'número real tenen les següents propietats:

1. Tota successió convergent és una successió de Cauchy.
2. Tota successió de Cauchy està acotada

Poden vore's demostracions de les propietats en Introducció a l'anàlisis matemàtic d'una variable (Bartle, Sherbert, 2.ª edició, any 1996)

En un espai mètric

Definició

En un espai mètric $(M,d)$, una successió

$x_1,x_2,x_3,\dots$

es diu de Cauchy si para tot número real $\epsilon >0$ existix un número natural $N$, tal que para tots $m,n>N$, la distància

$d(x_m,x_n)<\epsilon$

Açò implica que els elements de la successió es van acostant un en un atre.

Propietats

1. Tota successió convergent és una successió de Cauchy.
2. Tota successió de Cauchy està acotada

En $\mathbb{Q}$ les successions de Cauchy no tenen per qué ser convergents. L'eixemple clàssic és $a(n)=(1+1/n{)}^n$ que és de Cauchy pero el llímit del qual, el número $e$, no és racional.

Segons pareix de lo trivial de l'eixemple anterior a on la successió de Cauchy no convergia, en espais més abstractes pero no per això menys familiars, com els espais de funcions, demostrar la completitud a voltes no és tan trivial; una de les raons d'açò és que la completitud no es preserva necessàriament en homeomorfismes com a pansa en la conexidad i la compacidad.

Bibliografia

• (1994) Calculus, 3ra edició, Berkeley, CA: Publish or Perish. ISBN 0-914098-89-6.
• Rudin, Walter (1976). Principis d'Anàlisis Matemàtic, 3ra edició, Singapur: McGraw-Hill. ISBN 0-07-085613-3.