Teoria del potencial

En matemàtiques i física matemàtica la teoria del potencial pot definir-se com l'estudi de les funcions harmòniques.

Definició

L'expressió teoria del potencial apareix del fet que, en la física del sigle XIX, es creïa que les forças fonamentals de la naturalea s'obtenien a través de potencials que satisfeen l'equació de Laplace. Per lo tant, la teoria del potencial va ser l'estudi de les funcions que podien servir com a potencials. Hui en dia, se sap que la naturalea és encara més complicada: les equacions que descriuen forces són sistemes d'equacions diferencials en derivades parcials no llineals, tal com les equacions d'Einstein i les equacions de Yang-Mills, i l'equació de Laplace és solament vàlida com un cas llímit. No obstant, el terme teoria del potencial ha permaneixcut com un terme convenient per a descriure l'estudi de les funcions que satisfan l'equació de Laplace. També és cert que l'equació de Laplace s'utilisa en aplicacions en diverses àrees de la física, tal com la conducció de calor i l'electrostàtica.

Òbviament, hi ha una considerable superposició entre la teoria del potencial i la teoria de l'equació de Laplace. En la mida en que és possible establir una distinció entre estos dos camps, la diferència es basa en la següent distinció: la teoria del potencial se centra en les propietats de les funcions, a diferència de que en l'atra s'estudien les propietats de l'equació. Per eixemple, un resultat sobre les singularitats de les funcions harmòniques es diu que pertany a la normativa de la teoria del potencial, pero si el resultat parla de cóm una solució depén de les senyes de frontera, llavors es diu que pertany a la teoria de l'equació de Laplace. Per supost, açò no és una distinció clara i ràpida, i en la pràctica hi ha una considerable superposició entre els dos camps.

La teoria moderna del potencial està també íntimament relacionada en la provabilitat i la teoria de les cadenes de Markov. En el cas continu, açò està estretament relacionat en la teoria analítica. En el cas d'espai d'estat finito, esta conexió es pot portar a terme per mig de l'introducció d'una ret elèctrica sobre l'espai dels estats, en una resistència entre els punts inversamente proporcional a les provabilitats de transició i densitat proporcionals als potencials.

Vore també

• Funció subarmónica

Referències

Bibliografia

• Plantilla:Springer
• Plantilla:Springer
• S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey (2001). Harmonic Function Theory (2nd edition). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95218-7.
• O. D. Kellogg (1969). Foundations of Potential Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-60144-7.
• L. L. Helms (1975). Introduction to potential theory. R. E. Krieger ISBN 0-88275-224-3.
• J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.
• L. Snell. "Random Walks and Electric Circuits", arXiv