Equació de Laplace

Pierre-Simon Laplace

En càlcul vectorial, la equació de Laplace és una equació en derivades parcials de segon orde de tipo elíptic, que rep eixe nom en honor al físic i matemàtic Pierre-Simon Laplace.

Introduïda per les necessitats de la mecànica newtoniana, l'equació de Laplace apareix en moltes atres branques de la física teòrica com l'astronomia, l'electrostàtica, la mecànica de decorreguts o la mecànica quàntica.

Definició

En tres dimensions, el problema consistix en trobar una funció real $u$, doblement diferenciable, de variables reals $(x,y,z)$, tal que

En coordenades cartesianes,

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0.$

En coordenades cilíndriques $(\rho ,\phi ,z)$,

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$

En coordenades esfèriques $(r,\theta ,\varphi )$,

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\varphi }^2}=0$

Moltes voltes s'escriu de la següent manera:

${\mathrm{\nabla }}^{2}u=0$

a on ${\mathrm{\nabla }}^2$ és l'operador de Laplace o "Laplaciano".

Esta equació en derivades parcials, també es pot escriure com

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u=0,$

a on $\mathrm{\nabla }\cdot$ és la divergència, i $\mathrm{\nabla }$ és el gradient.

O si no, algunes voltes la notació pot ser:

$\Delta u=0,$

a on $\Delta$ també és l'operador de Laplace.

Les solucions de l'equació de Laplace es denominen funcions harmòniques.

Si del costat dret de l'igualtat s'especifica una funció, $f(x,y,z)$, és dir, si l'equació s'escriu com:

$\Delta u=f$

llavors es té la "equació de Poisson", per lo que l'equació de Laplace és un cas particular d'esta. L'equació de Laplace també és un cas particular de l'equació de Helmholtz.

L'equació de Laplace, aixina com l'equació de Poisson, són els eixemples més simples d'equacions en derivades parcials elíptiques.

Condicions de contorn o frontera

Equació de Laplace sobre una corona (r=2 i R=4) en condicions de contorn de Dirichlet: o(r=2)=0 i o(r=4)=4sense(5*θ)

Problema de Dirichlet

Artícul principal → Problema de Dirichlet.

El problema de Dirichlet per a l'equació de Laplace consistix en trobar una solució $u$ en algun domini $D$ tal que $u$ sobre el seu contorn o frontera $\partial D$ és igual a una funció determinada:

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{△}u=0,& x\in D\\ u=g,& x\in \partial D\end{array}$

Com l'operador de Laplace apareix en l'equació de la calor, una interpretació física d'este problema és lo següent: fixar la temperatura sobre el contorn del domini d'acort a una especificació determinada de la condició de contorn. La temperatura fluïx fins que alcança un estat estacionario en el que dita temperatura en cada punt del domini no canvia més. La distribució de la temperatura en l'interior serà llavors la solució corresponent al problema de Dirichlet.

Problema de Neumann

Artícul principal → Problema de Neumann.

Les condicions de contorn de Neumann per a l'equació de Laplace no especifica la funció $u$ en sí mateixa sobre el contorn $\partial D$, pero sí la seua derivada normal. Físicament, açò correspon a la construcció d'un potencial per a un camp vectorial l'efecte del qual és conegut en el contorn de $D$:

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{△}u=0,& x\in D\\ \frac{\partial u}{\partial \eta }=g,& x\in \partial D\end{array}$

Les solucions de l'equació de Laplace són funcions harmòniques; són totes analítiques dins del domini a on l'equació se satisfà. Si qualssevol de dos funcions són solucions a l'equació de Laplace (o de qualsevol equació diferencial homogénea), la seua suma (o qualsevol combinació llineal) és també una solució. Esta propietat, cridada principi de superposició, és molt útil, per eixemple, les solucions de problemes complexos poden construir-se simplement sumant les solucions determinades i variables.

Equació de Laplace en dos dimensions

L'equació de Laplace en dos variables independents:

${\phi }_{xx}+{\phi }_{yy}=0.$

L'equació de Laplace apareix modelant vàries situacions físiques que no depenen del temps. Pot denotar la temperatura en la llei de Fourier de transferència de calor, o la concentració química en la llei de Fick de difusió o el potencial electrostàtica en la llei de Ohm de conducció.

Funcions analítiques

Les parts reals i imaginàries d'una funció analítica en els complexos satisfan l'equació de Laplace. És dir, si $z=x+iy$, i si

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$

llavors la condició necessària per a que $f(z)$ siga analítica és que se satisfacen les equacions de Cauchy-Riemann:

$u_x=v_y,v_x=-u_y.$

a on $u_x$ és la primera derivada parcial de $u$ sobre $x$.

Llavors

$u_{yy}=(-v_x{)}_y=-(v_y{)}_x=-(u_x{)}_x.$

Per lo tant $u$ satisfà l'equació de Laplace. Un càlcul similar demostra que $v$ també satisfà l'equació de Laplace.

A l'inversa, donada una funció harmònica, és la part real d'una funció analítica, $f(z)$ (a lo manco localment). Una forma de provar-ho és:

$f(z)=\phi (x,y)+i\psi (x,y),$

llavors les equacions de Cauchy-Riemann se satisfan:

${\psi }_x=-{\phi }_y,{\psi }_y={\phi }_x.$

Esta relació no determina $\psi$, només els seus increments:

$d\psi =-{\phi }_{y}dx+{\phi }_{x}dy.$

L'equació de Laplace per a $\phi$ implica que la condició de integrabilidad per a $\psi$ se satisfà:

${\psi }_{xy}={\psi }_{yx},$

i aixina $\psi$ pot definir-se en una integral de llínea. La condició de integrabilidad i el teorema de Stokes implica que el valor de l'integral de llínea que conecta dos punts és independent del camí. El parell de solucions resultant de l'equació de Laplace es denominen funcions harmòniques conjugades. Esta construcció només és vàlida localment, o sempre que el camí no estiga rodejant a una singularitat. Per eixemple, si $r$ i $\theta$ són coordenades polars i

$\phi =\log r,$

llavors una funció analítica corresponent és

$f(z)=\log z=\log r+i\theta .$

No obstant, l'àngul $\phi$ és univaluada solament en una regió que no inclou a l'orige.

L'estreta relació entre l'equació de Laplace i les funcions analítiques establix que qualsevol solució de l'equació de Laplace té derivades en tots els órdens, i pot expandir-se en series de potències, a lo manco dins d'un círcul que no incloga una singularitat. Açò està en contrast en les solucions de l'equació d'ona, que per lo general té menor regularitat.

Hi ha una íntima conexió entre les séries de potències i les séries de Fourier. Si expandim una funció $f$ en séries de potències dins d'un círcul de radi $R$, açò significa que

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n,$

en coeficients definits adequadament les parts reals dels quals i imaginàries estan donades per:

$c_n=a_n+i{b}_n.$

Llavors

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[a_n{r}^n\cos n\theta -b_n{r}^n\sin n\theta ]+i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n{r}^n\sin n\theta +b_n{r}^n\cos n\theta ],$

la qual és una série de Fourier de $f$.

Fluix de decorregut

Siguen les cantitats $u$ i $v$ les components horisontal i vertical del camp de velocitat del fluix incompresible estacionario i irrotacional en dos dimensions, respectivament. La condició de que el fluix siga incompresible és que

$u_x+v_y=0,$

i la condició de que el fluix siga irrotacional és que

$\mathrm{\nabla }\times 𝐕=v_x-u_y=0.$

Si definim el diferencial de $\psi$ com

$d\psi =vdx-udy,$

llavors la condició de incompresibilidad és la de integrabilidad per a este diferencial: la funció resultant es diu funció de corrent perque és constant a lo llarc de les llínees de fluix. Les primeres derivades de $\psi$ són

${\psi }_x=v,{\psi }_y=-u,$

i la condició de irrotacionalidad establix que $\psi$ satisfà l'equació de Laplace. La funció harmònica $\phi$, que és el conjugat de $\psi$, es denomina potencial de velocitat. Les equacions de Cauchy-Riemann establixen que

${\phi }_x=-u,{\phi }_y=-v.$

Aixina que, a cada funció analítica li correspon un fluix de decorregut incompresible estacionario i irrotacional en el pla. La part real és el potencial de velocitat, i la part imaginària és la funció de corrent.

Electrostàtica

D'acort a les equacions de Maxwell, un camp elèctric (o,v) en un espai de dos dimensions que és independent del temps satisfà

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\times (u,v)=v_x-u_y=0,\\ \mathrm{\nabla }\cdot (u,v)=\rho ,\end{array}$

a on $\rho$ és la densitat de càrrega. La primera equació de Maxwell és la condició de integrabilidad per al diferencial

$d\phi =-udx-vdy,$

aixina que el potencial elèctric $\phi$ pot construir-se per a satisfer

${\phi }_x=-u,{\phi }_y=-v.$

La segona equació de Maxwell establix que

${\phi }_{xx}+{\phi }_{yy}=-\rho ,$

coneguda com l'equació de Poisson.

És important observar que l'equació de Laplace pot usar-se en problemes de tres dimensions en electroestática i fluix de decorregut aixina com en dos dimensions.

Equació de Laplace en tres dimensions

Solució fonamental

Una solució fonamental de l'equació de Laplace satisfà:

$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x^{\prime },y-y^{\prime },z-z^{\prime }),$

a on la funció delta de Dirac $\delta$ és una font unitària concentrada en un punt $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }).$ No és una funció en sí, no obstant pot pensar-se com el llímit de funcions que la seua integral sobretot l'espai és unitària, i la regió del qual a on la funció és distinta de zero és només en un punt (vore solució dèbil). És comú elegir una convenció de signes diferent per a esta equació, açò es fa quan es definix la solució fonamental. Freqüentment l'elecció d'este signe és convenient per a treballar en un $-\Delta$ que és un operador positiu. Aixina la definició de la solució fonamental implica que, si el laplaciano de $u$ és integrat sobre qualsevol volum que tanca el punt de la font, llavors

$\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }udV=-1.$

L'equació de Laplace no canvia baix un canvi de coordenades, i llavors podem esperar que la solució fonamental pot obtindre's entre solucions que depenen solament de la distància $r$ del punt de la font. Si elegim el volum d'una bola de radi $a$ al voltant del punt de la font, llavors pel teorema de la divergència de Gauss:

$-1=\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }udV=\underset{S}{\iint }{u}_{r}dS=4\pi a^2{u}_r(a).$

Llavors

$u_r=-\frac{1}{4\pi r^2},$

sobre una esfera de radi $r$ que té com a centre al punt de la font i per lo tant

$u=\frac{1}{4\pi r}.$

Un argument similar mostra que en dos dimensions:

$u=-\frac{1}{2\pi }\log r.$

Funció de Green

Una funció de Green és una solució fonamental que també satisfà una condició adequada en el contorn $S$ d'un volum $V$. Per eixemple, $G(x,y,z;x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ satisfà

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }G=-\delta (x-x^{\prime },y-y^{\prime },z-z^{\prime })\text{en}V,\\ G=0\text{si}(x,y,z)\text{en}S.\end{array}$

Ara si $u$ és qualsevol solució de l'equació de Poisson en $V$:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u=-f,$

i $u$ pren valors de contorn $g$ sobre $S$, llavors podem aplicar l'identitat de Green, una conseqüència de la teorema de la divergència, el qual satisfà

$\underset{V}{\iiint }[G\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u-u\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }G]dV=\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot [G\mathrm{\nabla }u-u\mathrm{\nabla }G]dV=\underset{S}{\iint }[G{u}_n-u{G}_n]dS.$

les notacions $u_n$ i $G_n$ es referixen a derivades normals a $S$. En vista de que les condicions satisfan $u$ i $G$, este resultat simplifica a

$u(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=\underset{V}{\iiint }GfdV+\underset{S}{\iint }{G}_{n}gdS.$

Aixina la funció de Green descriu l'influència de $f$ i $g$ en $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$. Per al cas de l'interior d'una esfera de radi $a$, la funció de Green pot obtindre's per mig de la reflexió: el punt de la font $P$ a distància $\rho$ del centre de l'esfera es reflectix a lo llarc de la llínea radial al punt $P^{\prime }$ que és en una distància

${\rho }^{\prime }=\frac{a^2}{\rho }.$

S'observa que si $P$ està dins de l'esfera, llavors $P^{\prime }$ estarà fòra de l'esfera. La funció de Green està donada llavors per

$\frac{1}{4\pi R}-\frac{a}{4\pi \rho R^{\prime }},$

a on $R$ és la distància al punt de la font $P$ i $R^{\prime }$ és la distància al punt reflectit $P^{\prime }$. Una conseqüència d'esta expressió per a la funció de Green és la fòrmula integral de Poisson. Siga $\rho$, $\theta$, i $\phi$ les components de coordenades esfèriques del punt de la font $P$. Ací $\theta$ és l'àngul en l'eix vertical, la qual és contrària a la notació matemàtica nortamericana, pero complix en l'estàndart europeu i la pràctica de la Física. Llavors la solució de l'equació de Laplace dins de l'esfera està donada per

$u(P)=\frac{1}{4\pi }{a}^3(1-\frac{{\rho }^2}{a^2})\iint \frac{g({\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })\sin {\phi }^{\prime }d{\theta }^{\prime }d{\phi }^{\prime }}{(a^2+{\rho }^2-2a\rho \cos \Theta {)}^{3/2}},$

a on

$\cos \Theta =\cos \phi \cos {\phi }^{\prime }+\sin \phi \sin {\phi }^{\prime }\cos (\theta -{\theta }^{\prime }).$

Una conseqüència simple d'esta fòrmula és que si $u$ és una funció harmònica, el valor de $u$ dins de l'esfera és el valor mig dels valors sobre l'esfera. Esta propietat de valor mig implica immediatament que funcions harmòniques no constants no poden prendre el seu valor màxim en un punt interior.

Electrostàtica

En l'espai lliure l'equació de laplace de qualsevol potencial electroestático deu ser igual a zero ya que $\rho$ (densitat de càrrega volumètrica) és zero en l'espai lliure.

A partir del gradient del potencial s'obté el camp elèctric

$𝐄=-\mathrm{\nabla }V$

Prenent la divergència del camp elèctric s'obté l'equació de Poisson, que relaciona el potencial elèctric en la densitat de càrrega

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

En el cas particular de l'espai lliure ($\rho =0$) l'equació de Poisson es reduïx a la de Laplace.

Usant la teorema de l'unicitat i mostrant que un potencial satisfà l'equació de Laplace (la segona derivada de $V$ deuria ser zero en l'espai lliure) i el potencial té els valors correctes en el contorn, el potencial llavors està unívocamente definit.

Un potencial que no satisfà l'equació de Laplace junt en la condició de contorn és un potencial electroestático inválido.

Vore també

• Equació de Poisson
• Funció harmònica

Referències

• Ireneo Peral, Primer curs d'equacions en derivades parcials, Capítul 5: L'equació de Laplace. El problema de Dirichlet. Departament de Matemàtiques, Universitat Autònoma de Madrit, Espanya.
• ^{[enllaç trencat]} Universitat Nacional d'Ingenieria, Perú.
• Equació de Laplace [1] archivat en Wayback Machine. Universitat de Navarra, Espanya.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
• A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, 1949