Identitats de Green

En matemàtiques, les identitats de Green són un conjunt d'igualtats en càlcul vectorial. Nomenades aixina en honor del matemàtic George Green, el mateix que va descobrir el teorema de Green.

Primera identitat de Green

Esta identitat es deriva del teorema de la divergència aplicat a un camp vectorial $𝐅=\psi \mathrm{\nabla }\phi$.

Si $\phi$ és una funció contínuament diferenciable de classe C² i $\psi$ és una atra funció contínuament diferenciable, pero de classe C¹ en una regió O, llavors:

$\underset{U}{\int }\psi \Delta \phi dV={\oint }_{\partial U}\psi (\mathrm{\nabla }\phi \cdot n)dS-\underset{U}{\int }(\mathrm{\nabla }\phi \cdot \mathrm{\nabla }\psi )dV,$

a on $\Delta ={\mathrm{\nabla }}^2$ és l'operador Laplaciano.

Segona identitat de Green

Si $\phi$ i $\psi$ són funcions contínuament diferenciables de classe C² les dos en O, llavors:

$\underset{U}{\int }(\psi \Delta \phi -\phi \Delta \psi )dV={\oint }_{\partial U}(\psi \frac{\partial \phi }{\partial n}-\phi \frac{\partial \psi }{\partial n})dS.$

Vore també

• Funció de Green