Funció de Green

En matemàtiques, una funció de Green és una funció matemàtica usada com a núcleu d'un operador llineal integral i usada en la resolució d'equacions diferencials no homogénees en condicions de contorn especificades. La funció de Green rep eixe nom pel matemàtic britànic George Green, que va desenrollar el concepte cap a 1830.

El terme també apareix en física, particularment en teoria quàntica de camps, per a referir-se a varis tipos de funcions de correlació i operadors integrals per a certes magnituts calculables a partir de l'operador de camp.

Motivació intuïtiva

El terme funció de Green s'usa per a designar a un operador llineal K que té forma d'integral, sent el núcleu d'este operador integral la funció de Green pròpiament dita. Per a explicar qué és la funció de Green considerem un operador diferencial llineal L que actua sobre cert espai de funcions definides sobre una varietat diferenciable M, i posem que pretenem resoldre l'equació diferencial:

L'idea del método basat en la funció de Green és trobar una funció de dos variables G(x, s) contínua i diferenciable en el sentit de la teoria de distribucions que complixca:

A on $\delta ()$ és la distribució delta de Dirac. Si es pot trobar una funció G que complixca l'equació (2) llavors la solució de l'equació (1) siga com siga la funció f pot escriure's en la forma:

Pot vore's informalment que la solució aixina calculada és solució de l'equació (1) ya que:

Per tant, tenim la següent relació entre l'operador integral dau per la funció de Green i l'operador diferencial associat a l'equació diferencial:

Convé afegir algunes precisió al plantejament informal que hem presentat:

1. Si el núcleu de L no és trivial, llavors la funció de Green no és única, encara que en la pràctica una combinació de les simetria del problema, les condicions de contorn i atres criteris pràctics externs nos proporcionen una única funció de Green.
2. La funció de Green G usualment no és una Funció matemàtica ordinària sino que pot ser una distribució o funció generalisada.
3. No qualsevol operador diferencial llineal L admet funció de Green. En el cas més general K és només un invers per la dreta de L.

Les funcions de Green són molt útils en teoria de la matèria condensada a on permeten resoldre l'equació de difusió i també en mecànica quàntica a on la funció de Green del hamiltoniano és un concepte clau, per al desenroll de la teoria quàntica de camps.

Definició formal

Per a definir la funció de Green que fa de núcleu integral de l'operador que resol certa equació diferencial inhomogénea és necessari introduir alguns conceptes. Escomençant en un operador diferencial de Sturm-Liouville $L$ de la forma:

I expressant per mig d'operador D les condicions de frontera de Dirichlet:

Siga $f(x)$ una funció contínua en $[0,l]$, en la qual plantegem el següent problema:

Est és un problema regular, la qual cosa significa, que per a l'equació homogénea l'única solució existent és la solució trivial.

Teorema Solament existix una solució o (x) que satisfà

Dita solució ve ademés donada per la següent expressió:

En la qual G (x, s) és la funció de Green que satisfà les següents condicions:

1. G (x, s) és contínua en x i s.
2. Per a $x\ne s$, $LG(x,s)=0$.
3. Per a $s\ne 0,l$, $DG(x,s)=0$.
4. Bote en la derivada: $G^{\prime }(s_{+0},s)-G^{\prime }(s_{-0},s)=1/p(s).$

1. La condició de simetria, $G(x,s)=G(s,x)$ es dona si el pes associat al producte escalar és 1.

Bibliografia

• Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.)

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Rata, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Jerry B. Marion Dinàmica clàssica de les partícules i sistemes