Equació de difusió

La equació de difusió és una equació en derivades parcials que descriu fluctuacions de densitat en un material que es difon. També s'usa per a descriure processos que exhibixen un comportament de difusió.

Equació

La forma més comuna de l'equació és:

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^2\varphi (\overrightarrow{r},t)$

Símbol	Nom
$\varphi$	Concentració del material que es difon
t	Temps
$D$	Coeficient de difusió colectiu
$\mathrm{\nabla }$	Vector operador diferencial nabla
$\overrightarrow{r}$	Coordenada espacial

Esta equació és llineal. Quan el coeficient de difusió depén de la posició i de la densitat, l'equació passa a ser

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot (D(\varphi ,\overrightarrow{r})\mathrm{\nabla }\varphi (\overrightarrow{r},t))$,

expressió que seguix sent llineal si el coeficient de difusió no depén de la densitat.

En térmens més generals, quan D és una matriu simètrica definida positiva, l'equació descriu una difusió anisótropa.

Deducció

l'equació de difusió pot deduir-se a partir de l'equació de continuïtat. La mateixa expressa que el canvi de densitat en un volum només pot deure's a fluix entrante i/o eixint de matèria, ya que dins del volum la matèria no pot ni crear-se ni destruir-se. L'equació de continuïtat s'escriu aixina:

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{j}=0$

a on $\overrightarrow{j}$ és el fluix del material que difon. L'equació de difusió pot obtindre's fàcilment d'esta relació quan li la combina en la llei de Fick, segons la qual el fluix del matèria que es difon en qualsevol part del sistema és proporcional al gradient local de densitat:

$\overrightarrow{j}=-D(\varphi )\mathrm{\nabla }\varphi (\overrightarrow{r},t)$.

Vore també

• difusió
• equació de convecció-difusió