Equació de la calor

Gràfic animat de l'evolució de la temperatura en una placa metàlica quadrada segons lo previst per l'equació de la calor. L'altura i el color roig indiquen la temperatura en cada punt. L'estat inicial presenta una regió uniformemente calenta en forma de piteu (roig) rodejada per una regió uniformemente freda (groc). A mida que passa el temps, la calor es difon cap a la regió freda.

La equació de la calor és una important equació diferencial en derivades parcials del tipo parabòlica que descriu la distribució del calor (o variacions de la temperatura) en una regió a lo llarc del transcurs del temps.

Definició

Per al cas d'una funció de tres variables $(x,y,z)\in {ℝ}^3$ i de la variable temporal $t$, l'enunciat clàssic és per al cas en que no existix una font d'energia

$\frac{\partial T}{\partial t}-\alpha (\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2})=0$

a on $\alpha$ és la difusividad tèrmica, que és una propietat del material.

En forma general, per a utilisar en qualsevol sistema de coordenades, l'equació és:

a on $\alpha$ és una constant positiva, i ${\mathrm{\nabla }}^2$ és l'operador de Laplace. En el problema físic de variació de temperatura, $u(x,y,z,t)$ és la temperatura i $\alpha$ és la difusividad tèrmica. En tractats matemàtics és comú considerar el cas en que $\alpha =1$.

Considerant l'equació d'estat, de la primera llei de la termodinàmica (és dir, la conservació de l'energia), s'escriu de la següent forma (assumint que no hi ha transferència de massa, o fonts de radiació, pero si una font d'energia $Q$). Esta forma és més general i particularment útil per a analisar cóm les diverses propietats ($c_p$ o $\rho$) influïxen sobre cada terme.

$\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot \left(k\mathrm{\nabla }T\right)=Q$

L'equació de la calor és d'una importància fonamental en numerosos i diversos camps de la ciència. En l'àmbit de les matemàtiques, són les equacions parabòliques en derivades parcials per antonomàsia. En el camp de l'estadística, l'equació de la calor està vinculada en l'estudi del moviment browniano a través de l'equació de Fokker–Planck. l'equació de difusió, és una versió més general de l'equació de la calor, i es relaciona principalment en l'estudi de processos de difusió química.

El problema físic i l'equació

Case unidimensional

L'equació de calor s'obté a partir de la llei de Fourier i del principi de conservació de l'energia. Segons la llei de Fourier, la raó de canvi del fluix d'energia calòrica per unitat d'àrea a través d'una superfície és proporcional al gradient de temperatura negatiu en la superfície,

$𝐪=-k\mathrm{\nabla }u$

a on $k$ és la conductivitat tèrmica i $u$ és la temperatura. En una dimensió, el gradient és una derivada espacial ordinària, i aixina la llei de Fourier és,

$q=-k\frac{\partial u}{\partial x}$

En absència de treball realisat, un canvi en l'energia interna per unitat de volum en el material, $\Delta Q$, és proporcional al canvi de la temperatura, $\Delta u$ (en esta secció, $\Delta$ és l'operador de diferència ordinari, no el Laplaciano). Llavors,

$\Delta Q=c_p\rho \Delta u$

a on $c_p$ és la capacitat calòrica específica i $\rho$ és la densitat de massa del material. Definint que l'energia és nula quan la temperatura és el zero absolut, es pot reescriure com:

$Q=c_p\rho u.$

L'increment en energia interna en una chicoteta regió espacial del material

$x-\Delta x\le \xi \le x+\Delta x$

sobre un lapsus de temps

$t-\Delta t\le \tau \le t+\Delta t$

està donat per

$c_p\rho \underset{x-\Delta x}{\overset{x+\Delta x}{\int }}[u(\xi ,t+\Delta t)-u(\xi ,t-\Delta t)]d\xi =c_p\rho \underset{t-\Delta t}{\overset{t+\Delta t}{\int }}\underset{x-\Delta x}{\overset{x+\Delta x}{\int }}\frac{\partial u}{\partial \tau }d\xi d\tau$

a on es va utilisar el teorema fonamental del càlcul. Si no hi ha treball realisat, i no hi ha fonts de calor, el canvi en l'energia interna en l'interval $[x-\Delta x,x+\Delta x]$ queda completament definit pel fluix de calor que travessa els contorns. Segons la llei de Fourier, açò és

$k\underset{t-\Delta t}{\overset{t+\Delta t}{\int }}[\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,\tau )-\frac{\partial u}{\partial x}(x-\Delta x,\tau )]d\tau =k\underset{t-\Delta t}{\overset{t+\Delta t}{\int }}\underset{x-\Delta x}{\overset{x+\Delta x}{\int }}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\xi }^2}d\xi d\tau$

una atra volta per la teorema fonamental del càlcul. Aplicant conservació de l'energia,

$\underset{t-\Delta t}{\overset{t+\Delta t}{\int }}\underset{x-\Delta x}{\overset{x+\Delta x}{\int }}[c_p\rho u_{\tau }-k{u}_{\xi \xi }]d\xi d\tau =0.$

Açò és verdader per a qualsevol regió rectangular $[t-\Delta t,t+\Delta t]\times [x-\Delta x,x+\Delta x]$. Pel lema fonamental del càlcul variacional, l'integrant deu desvanir a:

$c_p\rho u_t-k{u}_{xx}=0.$

El qual pot reescriure's com:

$u_t=\frac{k}{c_p\rho }{u}_{xx},$

o:

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{k}{c_p\rho }\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\right)$

el qual és l'equació de la calor, a on el coeficient (comunament denominat α)

$\alpha =\frac{k}{c_p\rho }$

es coneix com la difusividad tèrmica.

Es pot agregar un terme més a l'equació per a tindre en conte les pèrdues de calor per radiació, fenomen que depén de l'excés de temperatura $u=T-T_s$ en algun punt donat comparat en l'entorn. Quan l'excés de temperatura és relativament menut, la pèrdua per radiació és aproximadament μo, a on resulta l'equació de transferència de calor unidimensional de la forma

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{k}{c_p\rho }\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\right)-\mu u.$

No obstant, quan hi ha excés de temperatura significatiu, segons la llei de Stefan-Boltzmann la pèrdua neta de calor radiado és proporcional a $T^4-T_s^4$, i l'equació anterior és errònea. Per a grans excessos de temperatura, $T^4-T_s^4\approx u^4$, queda l'equació de transferència de calor per a altes temperatures de la forma:

$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\right)-m{u}^4$

a on $m=ϵ\sigma p/\rho A{c}_p$. Ací, $\sigma$ és la constant de Stefan-Boltzmann, $ϵ$ és la constant característica del material, $p$ és el perímetro de la secció de la barra i $A$ és la seua àrea de secció. No obstant, usant $T$ en lloc de $u$ tenim una millor aproximació en este cas.

Cas tridimensional

En el cas especial de la difusió de calor en un mig isotrópico i homogéneu en un espai de tres dimensions, l'equació és

$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha (\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2})$ $=\alpha (u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})$

a on:

• $u=u(x,y,z,t)$ és la temperatura com una funció de l'espai i del temps;
• $\frac{\partial u}{\partial t}$ és la raó de canvi de temperatura en un punt respecte del temps;
• $u_{xx},u_{yy},u_{zz}$ són derivades segones parcials (conducció tèrmiques) de la temperatura respecte de $x,y,z$, respectivament;
• $\alpha =\frac{k}{c_p\rho }$ és la difusividad tèrmica, una cantitat específica del material que depén de la conductivitat tèrmica $k$, la densitat de massa $\rho$, i la capacitat de calor específica $c_p$.

L'equació de la calor és una conseqüència de la llei de Fourier de conducció (vore conducció de la calor).

Si el mig no és tot l'espai, llavors per a resoldre l'equació de calor es necessita solament que s'especifiquen les condiciones de contorn para o. Per a determinar l'unicitat de les solucions en tot l'espai es necessita supondre una cota exponencial sobre el creiximent de les solucions.

Les solucions de l'equació de la calor es caracterisen per una suavitat gradual de la distribució de temperatura inicial pel fluix de calor des de les àrees més càlides cap a les més fredes d'un objecte. Generalment, molts estats diferents i condicions inicials tendixen al mateix equilibri estable.

L'equació de la calor és un eixemple prototip d'una equació diferencial en derivades parcials del tipo parabòlic

Usant l'operador de Laplace, l'equació es pot simplificar, i generalisar a equacions similars en l'espai d'un número arbitrari de dimensions:

$u_t=\alpha {\mathrm{\nabla }}^{2}u=\alpha \Delta u,$

a on l'operador de Laplace pot ser Δ o ∇², la divergència del gradient, es pren en les variables espacials.

L'equació de la calor governa la difusió de calor, és dir, és un atre procés de difusió, tal com la difusió de partícules o la propagació del potencial d'acció en cèlules neuronals. No obstant no són de naturalea difusiva, alguns problemes de mecànica quàntica també estan governades per una equació anàloga a l'equació de la calor (vore més alvance). També pot utilisar-se per a modelar alguns problemes en finances, com per eixemple en els processos de Black-Scholes o Ornstein-Uhlenbeck.

Vore també

• Equació general de transferència de calor

Bibliografia

• Ibarra (2012). L'equació de calor de Fourier: resolució per mig de métodos d'anàlisis en variable real i en variable complexa, UTN Facultat Regional Resistència: II Jornades d'Investigació en Ingenieria de el NEA i Països Limítrofs.
• (2003).«Computational Financial Mathematics using MATHEMATICA®: Optimal Trading in Estocs and Options».Springer.