Moviment browniano

Archiu:Brownian motion large.gif

Simulació del moviment browniano que realisa una partícula de pols que colisiona en un gran conjunt de partícules de menor tamany (molècules de gas) les quals es mouen en diferents velocitats en direccions aleatòries

Archiu:Brownianmotion5particles150frame.gif

Simulació del moviment browniano de 5 partícules (grogues) que colisionen en un gran conjunt de 800 partícules. Les partícules grogues deixen 5 rastres blaus de moviment aleatori i un d'ells té un vector de velocitat roig.

Archiu:Translational motion.gif

Archiu:Brownian hierarchical.svg

Tres vistes diferents del moviment browniano, en 32 passos, 256 passos i 2048 passos marcats en colors més clars progressivament

Archiu:Wiener process 3d.png

Una simple realisació d'un moviment browniano tridimensional per a temps 0 ≤ t ≤ 2

El moviment browniano és el moviment aleatori que s'observa en les partícules que es troben en un mig decorregut (líquit o gas), com a resultat de chocs contra les molèculas de dit decorregut.

Este fenomen de transport rep el seu nom en honor a l'escocés Robert Brown, biòlec i botànic. En 1827, mentres mirava a través d'un microscopi a les partícules atrapades en les cavitats dins d'un gra de polen en l'aigua, va senyalar que les partícules es movien a través del líquit; pero no va ser capaç de determinar els mecanismes que varen provocar este moviment. Els àtoms i les molècules havien segut teorizadas com a components de la matèria, i Albert Einstein va publicar un artícul en 1905, considerat per ell com el Annus Mirabilis ("any maravellós", en llatí) a on va explicar en tot detalle cóm el moviment que Brown havia observat era el resultat de les micropartículas sent mogudes per molècules d'aigua individuals. Esta explicació va servir com a prova convincent de que existixen els àtoms i molècules, i va ser verificat experimentalment per Jean Perrin en 1908. Perrin va ser guardonat en el Premi Nobel de Física en 1926 pel seu treball sobre l'estructura discontínua de la matèria (Einstein havia rebut el premi cinc anys abans pels seus servicis a la física teòrica en especial menció a la llei del efecte fotoeléctrico). La direcció de la força de bombardeig atòmic està canviant constantment i, en cada moment, la partícula és colpejada més en un costat que en un atre, lo que du a la naturalea aleatòria del moviment.

El moviment browniano es troba entre els processos estocàstics més simples, i és afí a atres dos processos estocàstics més simples i complexos: el camí aleatori i el teorema de Donsker. Esta universalitat està estretament relacionada en l'universalitat de la distribució normal. En abdós casos, a sovint és la conveniència matemàtica, més que exactitut dels models, lo que du a l'us de la distribució normal.

Tant la difusió com l'òsmosis es basen en el moviment browniano.

Història

Archiu:PerrinPlot2.svg

Reproduït del llibre de Jean Baptiste Perrin, Els Atomes, tres rastres del moviment de partícules coloidales de radi 0.53 µm com es veu en el microscopi, es mostren. Les posicions successives cada 30 segons s'unixen per mig de segments de llínea recta (el tamany de la malla és de 3,2 µm).

El poema científic Sobre la Naturalea de les coses, del romà Lucrecio (60 a. C.), inclou la notable descripció del moviment browniano de partícules de pols des dels versos 113 fins al 140. L'autor va presentar este fet com a prova de l'existència dels àtoms:

Observa lo que ocorre quan rajos de sol són admesos dins d'un edifici i cóm tira la llum sobre els llocs obscurs. Pots vore la multitut de menudes partícules movent-se en un sinnúmero de camins... el seu ball és un indici de moviments subjacents de matèria amagats de la nostra vista... això origina el moviment dels àtoms en sí mateixos (p. ej., espontàneament). Llavors els menuts organismes que són eliminats de l'impuls dels àtoms són posats en marcha per colps invisibles i a la seua volta en contra d'uns diminuts canons. Aixina, el moviment dels àtoms emergix gradualment d'un nivell del sentit, que estos cossos estan en moviment com veem en el raig de sol, moguts per soplos que semblen invisibles.

Sobre la naturalea de les coses, Lucrecio

Jan Ingenhousz va descriure el moviment irregular de partícules de carbó polvorisades en la superfície del alcohol en 1785. No obstant, el descobriment del moviment browniano s'atribuïx tradicionalment al botànic Robert Brown en 1827. Es creu que Brown va estar estudiant al microscopi partícules de polen de la planta Clarkia pulchella surant en l'aigua. Dins de les vacuolas dels grans de polen va observar diminutes partícules en moviments nerviosos. En repetir l'experiment en partícules de pols, va concloure que el moviment no es devia a que les partícules de polen estigueren "vives", encara que no va explicar l'orige del moviment.

El primer en descriure matemàticament el moviment browniano va ser Thorvald N. Thiele en 1880, en un document sobre el método dels mínims quadrats. Va ser seguit independentment per Louis Bachelier en 1900, en la seua tesis doctoral La teoria de l'especulació, en la que es presenta un anàlisis estocàstic d'acció i opció de mercats. El model del moviment browniano de les accions de mercat és citat freqüentment, pero Benoit Mandelbrot va rebujar la seua aplicació al moviment dels preus de les accions, en part perque són discontinus.

No obstant, va anar l'estudi independent d'Albert Einstein en el seu artícul de 1905 (Über die von der molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen / Sobre el moviment postulat per la teoria cinètica molecular de la calor de menudes partícules suspeses en un líquit estacionario) en el que va mostrar la solució als físics, com una forma indirecta de confirmar l'existència d'àtoms i molècules.

En eixa época la naturalea atòmica de la matèria encara era una idea controvertida. Einstein i Marian Smoluchowski varen deduir que, si els components de l'equació de fluix incompresibles del principi de Bernoulli era correcte, llavors les molècules d'aigua tindrien moviments aleatoris. Per lo tant, les partícules menudes podrien rebre un número aleatori d'impactes, de força aleatòria i de direccions aleatòries, en curts periodos de temps. Este bombardeig aleatori per les molècules del decorregut podria ser suficient per a que les partícules menudes es mogueren de la manera exacta que Brown havia descrit. Theodor Svedberg va fer importants demostracions del moviment browniano en coloides, aixina com Felix Ehrenhaft ho va fer en partícules d'argent en l'atmòsfera terrestre. Jean Perrin també va realisar experiments per a verificar els models matemàtics, i en publicar els seus resultats finals es va posar fi a dos mil anys de disputa sobre la realitat de les molèculas i els àtoms.

Teoria d'Einstein

Hi ha dos parts en la teoria d'Albert Einstein: la primera part consistix en la formulació d'una equació de difusió de partícules brownianas, en el que el coeficient de difusió està relacionada en el desplaçament quadràtic mig d'una partícula browniana, mentres que la segona part relaciona el coeficient de difusió de les magnituts físiques mesurables. D'esta manera Einstein va ser capaç de determinar el tamany dels àtoms, i el número d'àtoms que hi ha en un mol, o el pes molecular (en grams), d'un gas. D'acort en la llei de Avogadro, este volum és el mateix per a tots els gasos ideals, que és 22,414 litros a temperatura i pressió estàndar. El número d'àtoms continguts en este volum es coneix com número de Avogadro, i la determinació d'este número és equivalent al coneiximent de la massa d'un àtom, ya que esta última s'obté dividint la massa d'un mol de gas pel número de Avogadro.

Archiu:Diffusion of Brownian particles.svg

Les curves característiques en forma de campana de la difusió de partícules brownianas. La distribució comença com una funció delta de Dirac, lo que indica que totes les partícules es troben en l'orige en temps t = 0, i per l'aument dels temps es tornen cada volta més i més plans fins que es convertix en la distribució uniforme en el llímit de temps asintòtic.

La primera part del raonament d'Einstein va ser determinar quànt viaja una partícula browniana en un interval de temps donat. Una partícula browniana sofrix de l'orde de 10¹⁴ colisions per segon. Açò va dur a considerar a Einstein el moviment colectiu de les partícules brownianas.

Va considerar l'increment en la coordenada x de la partícula com una variable aleatòria (x o $\Delta$, en virtut de la transformació de coordenades que du l'orige a la posició inicial de la partícula), en funció de densitat de provabilitat $\varphi (\Delta )$. Ademés, suponent conservació del número de partícules, va desenrollar la densitat (número de partícules per unitat de volum) en série de Taylor:

$\begin{array}{cc}\rho (x,t+\tau )& =\rho (x,t)+\tau \frac{\partial \rho (x)}{\partial t}+\dots \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\mathrm{d}\Delta \\ & =\rho (x,t)\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (\Delta )d\Delta +\frac{\partial \rho }{\partial x}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\Delta \cdot \varphi (\Delta )\mathrm{d}\Delta \\ & +\frac{{\partial }^2\rho }{\partial x^2}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\Delta }^2}{2}\cdot \varphi (\Delta )\mathrm{d}\Delta +\dots \\ \end{array}$

En l'última expressió la primera integral és 1 per la normalisació de la provabilitat i la segona integral (i totes les de la mateixa forma en les que $\Delta$ estiga elevada a un exponent impar) s'anula per la simetria de $\varphi (\Delta )$. Queda llavors

$\begin{array}{cc}\rho (x,t)+\tau \frac{\partial \rho (x)}{\partial t}+\dots & =\rho (x,t)\cdot 1+\frac{{\partial }^2\rho }{\partial x^2}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\Delta }^2}{2}\cdot \varphi (\Delta )\mathrm{d}\Delta +\dots \\ \end{array}$

De la comparació de térmens s'obté la següent relació:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{{\partial }^2\rho }{\partial x^2}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\Delta }^2}{2\tau }\cdot \varphi (\Delta )\mathrm{d}\Delta +\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}.$

Es pot demostrar que quan $\Delta$ i $\tau$ tendixen a 0 el cocient ${\Delta }^2/\tau$ que hi ha en l'última integral tendix a un llímit, lo que permet definir el coeficient de difusió D :

$D=\underset{\Delta ,\tau \to 0}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\Delta }^2}{2\tau }\cdot \varphi (\Delta )\mathrm{d}\Delta .$

La densitat $\rho (x,t)$ de les partícules brownianas satisfà l'equació de difusió:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=D\frac{{\partial }^2\rho }{\partial x^2}.$

Suponent que N partícules escomencen des de l'orige en el temps inicial t = 0, l'equació de difusió té la solució

$\rho (x,t)=\frac{N}{\sqrt{4\pi Dt}}{e}^{-\frac{x^2}{4Dt}},$

que és una distribució normal de mija $\mu =0$ i varianza ${\sigma }^2=2Dt$. La varianza és el desplaçament quadràtic mig, ${\sigma }^2=\overline{x^2}=2Dt$. En prendre la seua raïl quadrada s'observa que el desplaçament d'una partícula browniana no és proporcional al temps transcorregut, sino a la raïl quadrada del temps. En fer este tipo d'afirmacions sobre una partícula a partir del comportament d'una colectivitat de partícules s'està fent un menut bot conceptual que pot justificar-se.

La segona part de la teoria d'Einstein es referix a la constant de difusió en cantitats físicament mesurables, tals com la mija al quadrat de desplaçament d'una partícula en un interval de temps donat. Este resultat permet la determinació experimental del número de Avogadro i per lo tant el tamany de les molècules. Einstein va analisar un equilibri dinàmic que s'establix entre forces opostes. La bellea del seu argument és que el resultat final no depén de que les forces estan involucrades en l'establiment de l'equilibri dinàmic.

En el seu tractament original, Einstein considerava un experiment de pressió osmótica, pero a la mateixa conclusió es pot aplegar d'una atra manera.

Considerem, per eixemple, partícules en suspensió en un decorregut viscós en un camp gravitatorio. La gravetat tendix a fer que les partícules es depositen, mentres que la difusió actua per a homogeneizarlos, conduint-los a regions de menor concentració. Baixe l'acció de la gravetat, una partícula adquirix una velocitat descendent de v = μmg , a on M és la massa de la partícula, g és l'acceleració deguda a la gravetat i μ és la movilitat de la partícula en el decorregut. George Stokes havia demostrat que la movilitat d'una partícula esfèrica en ràdio R és $\mu =\frac{1}{6\pi \eta r}$, a on η és la viscosidad dinàmica del decorregut. En un estat d'equilibri dinàmic, les partícules es distribuïxen d'acort a la distribució baromètrica

$\rho ={\rho }_0{e}^{-\frac{mgh}{k_{B}T}},$

A on ρ-ρ₀ és la diferència en la densitat de les partícules separades per un desnivell de h , k_B és la constant de Boltzmann (és dir, la relació de la constant universal dels gasos , R, en el número de Avogadro, N ), i T és la temperatura absoluta. És el número de Avogadro lo que es va a determinar.

Archiu:Brownian motion gamboge.jpg

La distribució d'equilibri per a les partícules de gamboge mostra la tendència dels grànuls a que es moguen a les regions de menor concentració quan es veuen afectats per la gravetat.

S'establix l'equilibri dinàmic, perque quant més es tiren cap a avall les partícules per la gravetat, major és la tendència a que les partícules migren a regions de menor concentració. El fluix està donada per les lleis de Fick,

$J=-D\frac{d\rho }{dh},$

a on J = ρv. Aplicant la fòrmula per a ρ, trobem que

$v=\frac{Dmg}{k_{B}T}.$

En un estat d'equilibri dinàmic, esta velocitat deu ser també igual a v = μmg . Note's que abdós expressions per a V són proporcionals a mg , reflectint cóm la derivació és independent del tipo de forces considerades. Igualant estes dos expressions es deriva esta expressió per a la difusividad:

$\frac{\overline{x^2}}{2t}=D=\mu k_{B}T=\frac{\mu RT}{N}=\frac{RT}{6\pi \eta rN}.$

Ací la primera igualtat es desprén de la primera part de la teoria d'Einstein, la tercera l'igualtat es desprén de la definició de la constant de Boltzmann com a k_B = R / N , i la quarta igualtat es deduïx de la fòrmula de Stokes per a la movilitat. Medint el quadrat mig del desplaçament durant un interval de temps, junt en la constant universal de gas R , la temperatura T , la viscosidad η, i el radi de la partícula r , el número de Avogadro N pot ser determinat.

El tipo d'equilibri dinàmic propost per Einstein no era nou. S'havia senyalat prèviament per J. J. Thomson en la seua série de conferències en l'Universitat de Yale en maig de 1903 quan l'equilibri dinàmic entre la velocitat generada per un gradient de concentració donat per la llei de Fick i la velocitat per la variació de la pressió parcial causats quan els ions es posen en moviment nos dona un método de determinació de la constant de Avogadro que és independent de qualsevol hipòtesis sobre la forma o tamany de les molècules, o de la forma en la que actuen un sobre l'atre.

Una expressió idèntica a la fòrmula d'Einstein per al coeficient de difusió també va ser trobada per Walther Nernst en 1888 en la que va expressar el coeficient de difusió com la relació de la pressió osmótica a la relació de la força de fricció i la velocitat a la que dona lloc. El primer s'equipara a la llei de Van't Hoff, mentres que l'últim va ser donat per la llei de Stokes. Ell escriu $k^{\prime }=p_0/k$ per al coeficient de difusió k´, a on $p_0$ és la pressió osmótica i k és la relació de la força de fricció en la viscosidad molecular que assumix que està donada per la fòrmula de Stokes per a la viscosidad. Presentant la llei del gas ideal per unitat de volum de la pressió osmótica, la fòrmula es torna idèntica a la d'Einstein. L'us de la llei de Stokes en el cas de Nernst, aixina com en Einstein i Smoluchowski, no és estrictament aplicable lloc que no s'aplica al cas en que el radi de l'esfera és menor en comparació al recorregut lliure mig.

En un primer moment les prediccions de la fòrmula d'Einstein varen anar aparentment refutadas per una série d'experiments per Svedberg entre 1906 i 1907, lo que va provocar la tongada del valor predit de les partícules de 4 a 6 voltes, i per Henri en 1908 que va trobar canvis 3 voltes major que la fòrmula que Einstein va predir. pero les prediccions d'Einstein finalment varen ser confirmades gràcies a una série d'experiments portats a terme per Chaudesaigues en 1908 i Perrin en 1909. La confirmació de la teoria d'Einstein va constituir un progrés empíric a la teoria cinètica de la calor. En essència, Einstein va demostrar que el moviment pot predir-se directament des del model cinètic d'equilibri tèrmic. L'importància de la teoria radica en el fet de que es va confirmar el relat de la teoria cinètica de la segona llei de la termodinàmica, sent essencialment una llei estadística.