Principi de Bernoulli

Per a la teorema matemàtica enunciada per Jakob Bernoulli vore Teorema de Bernoulli.

Archiu:BernoullisLawDerivationDiagram.svg

Esquema del principi de Bernoulli

Fluix d'aire a través d'un medidor de Venturi. L'energia cinètica aumenta a costa de la pressió del decorregut, com ho demostra la diferència d'altura de les dos columnes d'aigua.

Archiu:Venturi Tube en.webm

Video d'un medidor de Venturi usat en un experiment de laboratori.

En dinàmica de decorreguts, el principi de Bernoulli, també denominat equació de Bernoulli, descriu el comportament d'un decorregut movent-se a lo llarc d'una llínea de corrent. Va ser expost per Daniel Bernoulli en la seua obra Hidrodinàmica (1738)^[1] i expressa que en un decorregut ideal (sense viscosidad ni rozamiento) en règim de circulació per un conducte tancat, l'energia que posseïx el decorregut permaneix constant a lo llarc del seu recorregut.^[2]^{: Plantilla:R/where}^[3]^{: Plantilla:R/where} Encara que Bernoulli va deduir que la pressió disminuïx quan aumenta la velocitat del fluix, va ser Leonhard Euler qui va derivar l'equació de Bernoulli en la seua forma habitual en 1752.^[4]^[5] El principi solament és aplicable als fluix isentrópicos, és dir, quan els efectes dels processos irreversibles, com la turbulència, i els processos no adiabàtics, com la radiació de calor, són menuts i poden despreciar-se.

El principi de Bernoulli es pot aplicar a varis tipos de fluix de decorreguts que donen com resultat vàries formes de la equació de Bernoulli per lo que hi ha diferents formes de l'equació de Bernoulli per a diferents tipos de fluix. La forma simple de l'equació de Bernoulli és vàlida per a fluix incompresibles, com la majoria dels fluix de líquits i gasos que es mouen a un baix número de Mach. Es poden aplicar formes més alvançades a fluix compresibles a números de Mach més alts (consulte les derivació de l'equació de Bernoulli).

Archiu:Bernoulli-efecto-.png

Simulació numèrica de l'efecte, es pot vore com aumenta la velocitat en el centre del conducte, a on la secció és menor.

El principi de Bernoulli pot derivar-se del principi de conservació de l'energia. Açò indica que, en un fluix constant, la suma de totes les formes d'energia en un decorregut a lo llarc d'una llínea de fluix és la mateixa en tots els punts d'eixa llínea. Açò requerix que la suma de l'energia cinètica, energia potencial i energia interna permaneixca constant.^[3]^{: Plantilla:R/where} Per lo tant, un aument en la velocitat del decorregut, que implica un aument en la seua energia cinètica, és dir, de la pressió dinàmica, comporta una disminució simultànea en la suma de la seua energia potencial —inclosa la pressió estàtica— i energia interna. Si el decorregut ix d'un depòsit, la suma de totes les formes d'energia és la mateixa en totes les llínees de corrent perque en un depòsit l'energia per unitat de volum —la suma de la pressió i el potencial gravitacional $ρ g h$ — és la mateixa en tots els llocs.^[6]^{: Plantilla:R/where}

El principi de Bernoulli també pot derivar-se directament de la Segona Llei del Moviment d'Isaac Newton. Si un menut volum de decorregut fluïx horisontalment des d'una regió d'alta pressió a una regió de baixa pressió, llavors hi ha més pressió darrere que en el front. Açò li dona una força neta al volum, accelerant-ho a lo llarc de la llínea de corrent.^{[nota 1]}^{[nota 2]}^[7]^{[nota 3]}^[8]

Les partícules decorregudes estan subjectes únicament a la pressió i el seu propi pes. Si un decorregut atòmic fluïx horisontalment i a lo llarc d'una secció d'una llínea de corrent, a on la velocitat aumenta, solament pot ser perque el decorregut en eixa secció s'ha mogut des d'una regió de major pressió a una regió de menor pressió; i si la seua velocitat disminuïx, solament pot ser perque s'ha mogut d'una regió de pressió més baixa a una regió de pressió més alta. En conseqüència, dins d'un decorregut que fluïx horisontalment, la velocitat més alta ocorre a on la pressió és més baixa, i la velocitat més baixa ocorre a on la pressió és més alta.^[9]

Equació de fluix incompresible

En la majoria dels fluix de líquits i de gasos en un número de Mach baix, la densitat d'una parcela de decorregut pot considerar-se constant independentment de les variacions de pressió en el fluix, per lo que es pot considerar que el decorregut és incompresible. Estos fluix es denominen fluix incompresibles. Bernoulli va realisar els seus experiments en líquits, per lo que la seua equació en la seua forma original és vàlida solament para fluix incompresible. L'energia d'un decorregut en qualsevol moment consta de tres components:

Cinètica: és l'energia deguda a la velocitat que posseïxca el decorregut;
Potencial o gravitacional: és l'energia per l'altitut que un decorregut posseïxca;
Energia de pressió: és l'energia que un decorregut conté per la pressió que posseïx.

La següent equació coneguda com "equació de Bernoulli", consta d'estos mateixos térmens.

$\frac{V^{2} ρ}{2} + P + ρ g z = constante$

a on:

$V$ = velocitat del decorregut en la secció considerada.
$ρ$ = densitat del decorregut.
$P$ = pressió a lo llarc de la llínea de corrent.
$g$ = acceleració gravitatoria.
$z$ = altura en la direcció de la gravetat des d'una cota de referència.

Per a aplicar l'equació es deuen realisar els següents suposts:^[3]^{: Plantilla:R/where}

Viscosidad (fricció interna) = 0. És dir, es considera que la llínea de corrent sobre la qual s'aplica es troba en una zona 'no viscosa' del decorregut.
Cabal constant.
Fluix incompresible, a on ρ és constant.
L'equació s'aplica a lo llarc d'una llínea de corrent o en un fluix laminar.

Encara que el nom de l'equació es deu a Bernoulli, la forma dalt exposta va ser presentada en primer lloc per Leonhard Euler.

Un eixemple d'aplicació del principi es dona en el fluix d'aigua en canonada.

$\overset{cabezal de velocidad}{\overset{⏞}{\frac{V^{2}}{2 g}}} + \overset{altura o carga piezométrica}{\overset{⏞}{\underset{cabezal de presión}{\underset{⏟}{\frac{P}{γ}}} + z}} = \overset{Cabezal o Altura hidráulica}{\overset{⏞}{H}}$

També es pot reescriure este principi en forma de suma de pressions multiplicant tota l'equació per $γ$ (pes específic). D'esta forma, el terme relatiu a la velocitat es dirà pressió dinàmica, i els térmens de pressió i altura s'agruparan en la pressió estàtica.

Archiu:Venturifixed2. caps block 17

Esquema de l'efecte Venturi.

$\underset{presión dinámica}{\underset{⏟}{\frac{ρ V^{2}}{2}}} + \overset{presión estática}{\overset{⏞}{P + γ z}} = constante$

o escrita d'una atra manera més senzilla:

$q + p = p_{0}$

a on:

$q = \frac{ρ V^{2}}{2}$
$p = P + γ z$
$p_{0}$ és una constant.

Igualment podem escriure la mateixa equació com la suma de l'energia cinètica, l'energia de fluix i l'energia potencial gravitatoria per unitat de massa:

$\overset{energía cinética}{\overset{⏞}{\frac{V^{2}}{2}}} + \underset{energía de flujo}{\underset{⏟}{\frac{P}{ρ}}} + \overset{energía potencial}{\overset{⏞}{g z}} = constante$

En una llínea de corrent cada tipo d'energia pot pujar o disminuir en virtut de la disminució o l'aument de les atres dos. Pese a que el principi de Bernoulli pot ser vist com una atra forma de la llei de la conservació de l'energia realment es deriva de la conservació de la cantitat de moviment.

Esta equació permet explicar fenomens com l'efecte Venturi, ya que l'acceleració de qualsevol decorregut en un camí equipotencial (en igual energia potencial) implicaria una disminució de la pressió. Este efecte explica per qué les coses llaugeres moltes voltes tendixen a eixir-se d'un automòvil en moviment quan s'òbrin les finestres. La pressió de l'aire és menor fora degut a que està en moviment respecte a aquell que es troba dins, a on la pressió és necessàriament major. De forma, aparentment, contradictòria, l'aire entra al vehícul; pero açò ocorre per fenomens de turbulència i capa llímit.

Forma simplificada

En moltes aplicacions de l'equació de Bernoulli, el canvi en el terme $ρgz$ a lo llarc de la llínea de fluix és tan menut en comparació als atres térmens que es pot ignorar. Per eixemple, en el cas d'una aeronau en vol, el canvi en l'altura $z$ a lo llarc d'una llínea de fluix és tan menut que es pot ometre el terme $ρgz$ . Açò permet que l'equació anterior es presente en la següent forma simplificada:

p + q = p_{0}

a on:

$p 0$ és la «pressió total», i
$q$ és «pressió dinàmica».^[10]

Molts autors es referixen a la pressió $p$ com pressió estàtica per a distinguir-la de la pressió total $p 0$ i la pressió dinàmica $q$ . En Aerodynamics, L.J. Clancy escriu:

Per a distinguir-ho de les pressions totals i dinàmiques, la pressió real del decorregut, que està associada no en el seu moviment sino en el seu estat, a sovint es denomina pressió estàtica, pero quan s'usa el terme pressió solament, es referix a esta pressió estàtica.^[2]^{: Plantilla:R/where}

La forma simplificada de l'equació de Bernoulli es pot resumir en la següent equació de paraules memorables:^[2]^{: Plantilla:R/where}

pressió estàtica + pressió dinàmica = pressió total

Cada punt en un decorregut que fluïx constantment, independentment de la velocitat del decorregut en eixe punt, té la seua pròpia pressió estàtica única $p$ i pressió dinàmica $q$ . La seua suma $p + q$ es definix com la pressió total $p 0$ . L'importància del principi de Bernoulli ara es pot resumir com «la pressió total és constant a lo llarc d'una llínea de corrent».

Si el fluix de decorregut és irrotacional, la pressió total en cada llínea de fluix és la mateixa i el principi de Bernoulli es pot resumir com «la pressió total és constant en tots els llocs en el fluix de decorregut».^[2]^{: Plantilla:R/where} És raonable supondre que existix un fluix irrotacional en qualsevol situació en la que un cos gran de líquit fluïx a través d'un cos sòlit. Alguns eixemples són avions en vol i barcos que es mouen en cossos oberts d'aigua. No obstant, és important recordar que el principi de Bernoulli no s'aplica en la capa llímit o en el fluix de decorregut a través de canonades llargues.

Si el fluix de decorregut en algun punt a lo llarc d'una llínea de corrent es deté, este punt es diu punt d'estancament i, en este punt, la pressió total és igual a la pressió d'estancament o «pressió de remanso».

Aplicabilidad de l'equació de fluix incompresible al fluix de gasos

L'equació de Bernoulli és a voltes vàlida per al fluix de gasos: sempre que no hi haja transferència d'energia cinètica o potencial del fluix de gas a la compressió o expansió del gas. Si tant la pressió del gas com el volum canvien simultàneament, llavors el treball es farà en o pel gas. En este cas, l'equació de Bernoulli -en la seua forma de fluix incompresible- no pot ser assumida com a vàlida. No obstant, si el procés gaseós és completament isobàric, o isocórico, llavors no es realisa cap treball sobre o pel gas, (de modo que el simple balanç energètic no s'altera). Segons la llei del gas, un procés isobàric o isocórico és normalment l'única manera d'assegurar una densitat constant en un gas. També la densitat del gas serà proporcional a la relació de pressió i temperatura absoluta temperatura, no obstant esta relació variarà en la compressió o expansió, sense importar la cantitat de calor que no siga zero que s'agregue o s'elimine. L'única excepció és si la transferència de calor neta és zero, com en un cicle termodinàmic complet, o en un cicle isoentrópico individual, sense fricció i adiabàtic, i inclús llavors este procés reversible deu ser invertit, per a restaurar el gas a la pressió original i al volum específic, i per lo tant a la densitat. Només llavors és aplicable l'equació original de Bernoulli, no modificada. En este cas, l'equació pot utilisar-se si la velocitat de fluix del gas està suficientment per baix de velocitat del sò, de modo que la variació en la densitat del gas (per este efecte) a lo llarc de cada llínea de corrent pot ser ignorada. El fluix adiabàtic a Mach < 0.3 es considera generalment com suficientment llent.

Fluix de potencial inestable

L'equació de Bernoulli per al fluix de potencial inestable s'usa en la teoria de les ones superficials de l'oceà i en l'acústica.

Per a un fluix irrotacional, la velocitat de fluix es pot descriure com el gradient $\nabla φ$ d'un potencial de velocitat $φ$ . En eixe cas, i per a una densitat constant $ρ$ , les derivades de les equacions de Euler es poden integrar en:^[3]^{: Plantilla:R/where}

\frac{\partial φ}{\partial t} + \frac{1}{2} v^{2} + \frac{p}{ρ} + g z = f (t)

que és una equació de Bernoulli vàlida també per a fluix inestables (o dependents del temps). Ací

$Plantilla:Sfrac$ denota la derivada parcial del potencial de velocitat $φ$ sobre el temps $t$ , i
$v = \nabla φ$ és la velocitat de fluix.
La funció f(t) depén solament del temps i no de la posició en el decorregut.

Com a resultat, l'equació de Bernoulli en algun moment $t$ no solament s'aplica a lo llarc d'una certa llínea de corrent, sino en tot el domini decorregut. Açò també és vàlit per al cas especial d'un fluix irrotacional constant, en el cas del qual $f$ i $\partial φ /\partial t$ són constants, per lo que la «equació (A)» es pot aplicar en cada punt del domini del decorregut.^[3]^{: Plantilla:R/where}

Ademés $f (t)$ es pot fer igual a zero incorporant-ho en el potencial de velocitat utilisant la transformació

Φ = φ - \int_{t_{0}}^{t} f (τ) d τ

resultant:

\frac{\partial Φ}{\partial t} + \frac{1}{2} v^{2} + \frac{p}{ρ} + g z = 0

Ha de tindre's en conte que la relació del potencial en la velocitat de fluix no es veu afectada per esta transformació: ∇ Φ = ∇ φ.

L'equació de Bernoulli per al fluix potencial inestable també sembla eixercitar un paper central en el principi variacional de Luke , una descripció variacional dels fluix de superfície lliure utilisant el lagrangiano, que no deu confondre's en les coordenades lagrangianas.

Equació de Bernoulli en fricció i treball extern

L'equació de Bernoulli és aplicable a decorreguts no viscosos, incompresibles en els que no existix aportació de treball exterior, per eixemple per mig d'una bomba, ni extracció de treball exterior, per eixemple per mig d'una turbina. De totes formes, a partir de la conservació de la Cantitat de moviment para decorreguts incompresibles es pot escriure una forma més general que té en conte fricció i treball:

$\frac{{V_{1}}^{2}}{2 g} + \frac{P_{1}}{γ} + z_{1} + \frac{W}{γ} = h_{f} + \frac{{V_{2}}^{2}}{2 g} + \frac{P_{2}}{γ} + z_{2}$

a on:

$γ$ és el pes específic ( $γ = ρ g$ ). Este valor permaneix constant a través del recorregut en ser un decorregut incompresible.
$W$ és la diferència entre el treball extern que se li suministra (+) o extrau al decorregut (-) per unitat de cabal másico a través del recorregut del decorregut.
$h_{f}$ és el malbarat per fricció a través del recorregut del decorregut.
Els subíndexs $1$ i $2$ indiquen si els valors estan donats per al començ — $1$ — o el final — $2$ — del volum de control, respectivament.
g és l'acceleració de la gravetat = 9,81 m/s².

Referències

↑ «Hydrodynamica». Britannica Online Encyclopedia. Consultat el 30 d'octubre de 2008.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Clancy, L. J. (1975). Aerodynamics, Wiley. ISBN 978-0-470-15837-1.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 Batchelor, G. K. (2000). An Introduction to Fluïu Dynamics, Cambridge: University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
↑ (2016).«Handbook of fluïu dynamics».CRC Press.
↑ (2008).«From Newton's mechanics to Euler's equations».Physica D: Nonlinear Phenomena.237(14–17)
1855–1869.doi:10.1016/j.physd.2007.08.003.
↑ Streeter, Victor Lyle (1966). Fluïu mechanics, New York: McGraw-Hill.
↑ "meus6/els meus6.html «Misinterpretations of Bernoulli's Law».Consultat el 27 d'abril de 2019.
↑ Denker, John S.. «3 Airfoils and Airflow». See How It Flies. Consultat el 27 de juliol de 2018.
↑ Resnick, R. and Halliday, D. (1960), section 18-4, Physics, John Wiley & Sons, Inc.
↑ «Bernoulli's Equation». NASA Glenn Research Center. Archivat des d'el original, el 31 de juliol de 2012. Consultat el 4 de març de 2009.

Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "nota", pero no es trobà una etiqueta <references group="nota"/>

[1] «Hydrodynamica». Britannica Online Encyclopedia. Consultat el 30 d'octubre de 2008.

[Clancy1975-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Clancy, L. J. (1975). Aerodynamics, Wiley. ISBN 978-0-470-15837-1.

[Batchelor2000-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 Batchelor, G. K. (2000). An Introduction to Fluïu Dynamics, Cambridge: University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.

[Anderson2016-4] (2016).«Handbook of fluïu dynamics».CRC Press.

[5] (2008).«From Newton's mechanics to Euler's equations».Physica D: Nonlinear Phenomena.237(14–17)
1855–1869.doi:10.1016/j.physd.2007.08.003.

[Streeter1966-6] Streeter, Victor Lyle (1966). Fluïu mechanics, New York: McGraw-Hill.

[Weltner-9] "meus6/els meus6.html «Misinterpretations of Bernoulli's Law».Consultat el 27 d'abril de 2019.

[Denker2005-11] Denker, John S.. «3 Airfoils and Airflow». See How It Flies. Consultat el 27 de juliol de 2018.

[12] Resnick, R. and Halliday, D. (1960), section 18-4, Physics, John Wiley & Sons, Inc.

[13] «Bernoulli's Equation». NASA Glenn Research Center. Archivat des d'el original, el 31 de juliol de 2012. Consultat el 4 de març de 2009.

[1]

[2]

Plantilla:R/where

[3]

[4]

[5]

[6]

[nota 1]

[nota 2]

[7]

[nota 3]

[8]

[9]

[10]