Lagrangiano

Retrat de Joseph Louis de Lagrange (Giuseppe Luigi Lagrangia)

En física, un lagrangiano és una funció escalar a partir de la qual es pot obtindre l'evolució temporal, les lleis de conservació i atres propietats importants d'un sistema dinàmic. De fet, en física moderna el lagrangiano es considera l'operador més fonamental que descriu un sistema físic.

El terme du el nom de l'astrònom i matemàtic italo-francés Joseph Louis de Lagrange. El concepte d'un lagrangiano es va introduir en una reformulación de la mecànica clàssica introduïda per Lagrange, coneguda com mecànica lagrangiana, en 1788. Esta reformulación va ser necessària en la finalitat d'explorar la mecànica en sistemes alternatius de les coordenades cartesianas, com les coordenades polarés, cilíndricas i esfèricas, per a les que la mecànica de Newton no era convenient.

El formalisme lagrangiano permet alcançar tant les lleis de Newton com les equacions de Maxwell, les quals poden ser deduïdes com les equacions de Euler-Lagrange d'un lagrangiano clàssic. Igualment la forma del lagrangiano determina les propietats bàsiques del sistema en teoria quàntica de camps.

Introducció

La mecànica de Lagrange té el seu orige com una formulació de la mecànica clàssica. És una formulació alternativa a la mecànica hamiltoniana. Es definix el lagrangiano d'un sistema de partícules com la diferència entre la seua energia cinètica $E_c$ i la seua energia potencial $E_p$:

Històricament el formalisme lagrangiano va sorgir dins de la mecànica clàssica per a sistemes en un número finito de graus de llibertat. Este lagrangiano permetia escriure les equacions de moviment d'un sistema totalment general que tenia restriccions de moviment o era no-inercial de modo molt senzill.

Més vesprada el concepte es va generalisar a sistemes en un número no finito de graus de llibertat com els mijos continus o els camps físics. Més vesprada el concepte va poder generalisar-se també a la mecànica quàntica, particularment en la teoria quàntica de camps.

Formalisme matemàtic

El lagrangiano és una funció escalar definida sobre un cert espai de possibles estats del sistema. En un sistema d'un número finito de graus de llibertat l'acció física es definix com una integral de llínea sobre les trayectòries del moviment (1), mentres que en un sistema continu o sistema en un número no finito de graus de llibertat l'acció es definix com una integral múltiple sobre un 4-volum (2):

Les equacions del moviment poden obtindre's a partir de la forma del lagrangiano, ya que sobre les trayectòries del moviment real del sistema són tals que les integrals anteriors prenen el valor mínim possible. Coneguda la forma del lagrangiano en un sistema de coordenades, les equacions de Euler-Lagrange particularizadas per al lagrangiano concret són precisament les equacions de moviment.

Número finito de graus de llibertat

En el cas d'un sistema en un número finito de graus de llibertat, l'espai d'estats és una varietat diferenciable finito-dimensional construïda com el fibrado tangente TQ d'una varietat n-dimensional i el lagrangiano és una funció de la forma $\tilde{L}:TQ\times ℝ\to ℝ$.

Una funció lagrangiana és l'expressió del lagrangiano en un sistema de coordenades concret, està relacionada en l'energia cinètica i l'energia potencial del sistema. Per eixemple per a una partícula clàssica que es mou en l'espai euclídeo convencional $TQ={ℝ}^3\times {ℝ}^3$ baix un camp de forces conservativo dau per la funció V(x,i,z), el lagrangiano usual usant coordenades cartesianas pot representar-se per la funció lagrangiana:

(3) $L(x,y,z,v_x,v_y,v_z)=\frac{m}{2}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)-V(x,y,z)$,

La funció lagrangiana s'escriu usualment en térmens de qualsevol tipo de coordenades generalisades:

(4) $(q_1,\mathrm{...}{q}_n;{\dot{q}}_1,\mathrm{...},{\dot{q}}_n;t)\mapsto L(𝐪,\dot{𝐪},t)\in ℝ$,

Sobre el lagrangiano intrínsec, pot escriure's en térmens de qualsevol funció lagrangiana, si les coordenades generalisades usades coincidixen en una carta local $(U,{\varphi }_q)$ el lagrangiano intrínsec es pot escriure com una funció que satisfà:

A on $({\varphi }_p{)}_{*}=D{\varphi }_q$ és el pushforward o diferencial de l'homeomorfisme que definix la carta local. El lagrangiano definit en coordenades locals i definit directament sobre l'espai d'estats estan relacionats per mig de:

Les trayectòries que donen l'evolució temporal d'un sistema són curvas diferenciables sobre la varietat de configuració, que poden calcular-se a partir de les equacions de Euler-Lagrange:

Número infinit de graus de llibertat

En sistemes en un número infinit de graus de llibertat, és dir, en sistemes de la mecànica de mijos continus o la teoria clàssica de camps, requerixen una descripció més complexa en térmens de densitat lagrangiana. Ademés en eixe cas l'espai de configuració pot ser substancialment més complicat que en el cas de sistemes d'un grau finito. De fet l'espai de configuració $ℱ$ deu ser una varietat de dimensió infinita formada per tots les possibles variacions que pot tindre un camp sobre una 4-varietat o espai-temps M, i de fet en este cas les "trayectòries" no són varietats unidimensionals sino 4-varietats. Existix un modo rigorós i elegant de construir dit tipo de varietat de configuració considerant fibrados tangentes sobre M, pero eixe tipo de formalisme no serà tractat ací.

La densitat lagrangiana és una funció del tipo $\widetilde{ℒ}:ℱ\times M\to ℝ$ (encara en les teories en que el camp pot prendre complex, existixen raons físiques per a seguir exigint que el lagrangiano siga una funció real). Ademés el que la teoria siga local, és dir, que complixca en certs requisits de causalitat física, la densitat lagrangiana no deu contindre derivades superiors al segon orde, de lo contrari ocorren certes violacions estranyes de la causalitat.

Si considerem ara un observador $O$ concret podem derivar, de la mateixa manera que vàrem fer per al cas en un número finito de graus de llibertat, una expressió de la densitat lagrangiana en coordenades, podent-se escriure l'acció com:

(8) $S[{\varphi }_r^{\alpha }]\equiv \underset{M}{\int }{ℒ}_O\left(\right({\varphi }_r^{\alpha }(x),\partial {\varphi }_r^{\alpha }(x)),x)d^{4}x$,

Donades certes condicions de contorn sobre el vora d'una regió $V\subset M$, llavors les equacions del moviment vénen donades per les equacions de Euler-Lagrange:

Incidentalment, el costat esquerre és la derivada funcional de l'acció sobre ${\varphi }_r^{\alpha }$.

Lagrangiano en mecànica clàssica

En mecànica clàssica la funció lagrangiana d'un sistema conservativo, denotada per mig de L, és simplement la diferència entre la seua energia cinètica, T, i la seua energia potencial, V. El domini apropiat del lagrangiano és un espai de fases, i deu obedir les equacions de Euler-Lagrange. El concepte va ser utilisat originalment en una reformulación de la mecànica clàssica coneguda com la mecànica lagrangiana. En coordenades generalisades este lagrangiano pren usualment la forma:

(10) $L(q_i,{\dot{q}}_i)=\frac{m}{2}\sum _{i,j}{g}_{ij}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j-V(q_1,\dots ,q_n;t)$,

A on $g_{ij}(𝐪)$ és el tensor mètric de l'espai euclídeo expressat en les coordenades generalisades coorrespondientes, que només depén de les pròpies coordenades de les velocitats ${\dot{q}}_i$.

Lagrangiano d'una partícula clàssica en coordenades rectangulars

Si suponem com és habitual que un sistema clàssic, està format per partícules que es mouen en un espai euclídeo tridimensional llavors el tensor mètric adopta la forma diagonal i el lagrangiano ve dau per:

(11) $L(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z})=\frac{m}{2}{\dot{𝐫}}^2-V(𝐫)$,

I llavors el sistema resulta ser inercial, i les equacions de Euler-Lagrange es reduïxen simplement a les lleis de Newton:

(12) $m\ddot{𝐫}+\mathrm{\nabla }V=0\Rightarrow m\frac{d^2𝐫}{d{t}^2}=-\mathrm{\nabla }V=𝐅$,

Lagrangiano d'una partícula en coordenades esfèriques

En coordenades esfèriques (r,θ,φ) la mateixa funció lagrangiana anterior, particularizada al cas d'un potencial en simetria esfèrica que només depenga de la coordenada radial, s'expressa com:

(13) $\frac{m}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2)-\tilde{V}(r)$,

Usant les equacions de Euler-Lagrange, el mateix càlcul de la secció anterior nos conduïx a les equacions de moviment sobre un sistema no inercial:

$m\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-mr({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2)=-\frac{d\tilde{V}(r)}{dr}=F_r(r)$

$\frac{d}{dt}(m{r}^2\dot{\theta })-m{r}^2\sin \theta \cos \theta {\dot{\varphi }}^2=0$

$\frac{d}{dt}(m{r}^2{\sin }^2\theta \dot{\varphi })=0$

Entre els térmens adicionals que ara han aparegut està la força de Coriolis i la força centrípeta, aixina el formalisme lagrangiano prediu automàticament que qualsevol de sistema de referència no cartesiano comporta l'aparició de forces no inerciales.