Mecànica de mijos continus

Descripció matemàtica de la deformació d'un mig continu

La mecànica de mijos continus (MMC) és una branca de la física (específicament de la mecànica) que propon un model unificat per a la mecànica de sòlits deformables, sòlits rígits i decorreguts. Físicament els decorreguts es classifiquen en líquits i gasos. El terme mig continu s'usa tant per a designar un model matemàtic, com qualsevol porció de material el comportament de la qual es pot descriure adequadament per eixe model.

Un model continu supon que la substància de l'objecte ompli completament l'espai que ocupa. Açò ignora el fet de que la matèria està feta d'àtoms, no obstant proporciona una descripció suficientment precisa de la matèria en escales de llongitut molt majors que la de les distàncies interatómicas. El concepte de mig continu permet l'anàlisis intuïtiu de la matèria a granel per mig de l'us d'equacions diferencials que descriuen el comportament de dita matèria d'acort en lleis físiques, com la conservació de la massa, la conservació del moment i la conservació de l'energia. L'informació sobre el material específic s'expressa en relacions constitutives.

La mecànica contínua tracta les propietats físiques de sòlits i decorreguts independentment de qualsevol sistema de coordenades particular en el que s'observen. Estes propietats es representen per mig de tensorés, que són objectes matemàtics en la destacada propietat de ser independents dels sistemes de coordenades. Açò permet definir les propietats físiques en qualsevol punt del continu, segons funcions contínues matemàticament convenients. Les teories d'elasticitat, plasticidad i mecànica de decorreguts es basen en els conceptes de la mecànica del continu.

Concepte de continu

El concepte de continu subyacer en el marc matemàtic per a estudiar les forces i deformacions a gran escala en els materials. Encara que els materials estan composts d'àtoms i molècules discrets, separats per espai buit o clavills microscòpics i defectes cristalográficos, els fenomens físics poden modelar-se a sovint considerant una substància distribuïda per alguna regió de l'espai. Un continu és un cos que pot subdividirse contínuament en elements infinitesimalés en propietats materials locals definides en qualsevol punt concret. Les propietats del material a granel poden, per tant, descriure's per mig de funcions contínues, i la seua evolució pot estudiar-se utilisant les matemàtiques del càlcul.

A banda del supòsit de continuïtat, en l'estudi de la mecànica del continu se solen amprar atres dos supòsits independents. Estes són homogeneïtat (suposició de propietats idèntiques en totes les localisacions) i isotropía (suposició de propietats vectorials invariantes direccionalmente). Si estes suposicions auxiliars no són aplicables globalment, el material pot segregar-se en seccions en les que sí siguen aplicables per a simplificar l'anàlisis. En els casos més complexos, es pot prescindir d'un o d'abdós suposts. En estos casos, se solen utilisar métodos computacionals per a resoldre les equacions diferencials que descriuen l'evolució de les propietats del material.

Introducció

Un mig continu es concep com una porció de matèria formada per un conjunt infinit de partícules (que formen part, per eixemple, d'un sòlit, d'un decorregut o d'un gas) que va a ser estudiat macroscópicamente, és dir, sense considerar les possibles discontinuïtats existents en el nivell microscòpic (nivell atòmic o molecular).

En conseqüència, en el tractament matemàtic ideal d'un mig continu s'admet usualment que no hi ha discontinuïtats entre les partícules i que la descripció matemàtica d'este mig i de les seues propietats es pot realisar per mig de funcions contínues.

Existixen tres grans grups de mijos continus:

• Mecànica de decorreguts, que distinguix a la seua volta entre:
  • Decorreguts compresibles.

• • Decorreguts incompresibles.
• Mecànica de sòlits deformables.
• Mecànica del sòlit rígit

Model matemàtic

En el model plantejat per la mecànica de mijos continus les magnituts físiques com l'energia o la cantitat de moviment poden ser manejades en el llímit infinitesimal. Per eixa raó les relacions bàsiques en mecànica de mijos continus prenen la forma d'equacions diferencials. Els tipos bàsics d'equacions usades en mecànica de mijos continus són:

• Equacions constitutives que caracterisen les propietats del material que tracta de modelar-se com a mig continu.
• Lleis de conservació que són lleis física fonamentals com:
  • Conservació de l'energia.
  • Conservació de la cantitat de moviment

ya que les propietats dels sòlits i decorreguts no depenen del sistema de coordenades elegit per al seu estudi, les equacions de la mecànica de mijos continus tenen forma tensorial. És dir, les magnituts bàsiques que apareixen en la mecànica de mijos continus són tensors la qual cosa permet escriure les equacions en una forma bàsica que no varia d'un sistema de coordenades a un atre.

Moviment del mig

El moviment de mig continu necessita especificar cóm es mou cada u dels punts materials que componen el mig a lo llarc del temps. Això implica que no basta un número finito de coordenades sino per a cada punt es requerix una funció del temps que descriga la seua posició en cada instant. Usualment la descripció del moviment es realisa a partir d'una configuració inicial. Esta configuració inicial està formada per tots els punts de l'espai que inicialment estaven ocupats pel mig continu, per lo que el moviment pot realisar-se per mig d'una aplicació del tipo:

El moviment del punt material de coordenades inicials $𝐗$ vindrà dau:

A partir d'eixa funció es pot definir el gradient de deformació en cada punt com la derivada jacobiana de l'anterior aplicació:

A partir d'eixe gradient pot definir-se el tensor deformació i el tensor velocitat de deformació. I a partir d'ells en funció del tipo de material que forme el mig continu es pot obtindre el tensor de tensions per mig de l'equació constitutiva del mig.

Sòlits i decorreguts

La diferència fonamental entre sòlits deformables i decorreguts és que les tensions en un punt en un instant donat en els sòlits es veuen influïdes pel valor actual de la deformació $𝜺$ en dit punt, és dir, les tensions depenen de quant diferix la "forma original" o configuració natural i l'estat actual. Pel contrari, en un decorregut les tensions en un punt només depenen d'un escalar cridat pressió (p) i de la velocitat de deformació $\dot{𝜺}$, pero no la deformació mateixa. Per eixemple en un sòlit elàstic homogéneu equació constitutiva té la forma:

Mentres que un decorregut té una equació constitutiva d'un decorregut és del tipo:

Un sòlit viscoelástico té tensions que seguixen depenent de la deformació encara que de la mateixa manera que un decorregut el valor de la tensió es veu afectat per la velocitat de deformació, aixina un sòlit viscoelástico homogéneu de tipo diferencial podria tindre una equació constitutiva del tipo:

És interessant notar que l'equació d'equilibri:

A on

$\rho$ és la densitat del mig.

$\frac{D}{Dt}$ és la derivada material,

$𝐯$ és el camp de velocitats,

$\rho 𝐟$ és la densitat de força per unitat de massa

$𝝈$ és el tensor tensió

És vàlida tant per a sòlits deformables com para decorreguts. En el cas de decorreguts newtonianos es substituye el tensor tensió per l'expressió constitutiva en térmens de la velocitat de deformació l'equació anterior es convertix en l'equació de Navier-Stokes per al decorregut.

Vore també

• Equació d'estat
• Material simple
• Mecànica puntual

Bibliografia

• Gurtin, M. E. (1981). An Introduction to Continuum Mechanics, Nova York: Academic Press.
• Maugin (1999). The Thermomechanics of Nonlinear Irreversible Behaviors: An Introduction, Singapore: World Scientific.