Mecànica de sòlits deformables

Vore també: Mecànica de mijos continus

Archiu:MemoryFoam-fast.jpg

La bromera viscoelástica és un sòlit deformable ya que tendix a recuperar la seua forma per a esforços llaugers, encara que el modo de recuperació és retardado a diferència d'un sòlit elàstic en que la resposta és pràcticament instantànea.

La mecànica de sòlits deformables estudia el comportament dels cossos sòlits deformables davant diferents tipos de situacions com l'aplicació de càrregues o efectes tèrmics. Estos comportaments, més complexos que el dels sòlits rígits, s'estudien en mecànica de sòlits deformables introduint els conceptes de deformació i de tensió per mig de les seues aplicacions de deformació.

Una aplicació típica de la mecànica de sòlits deformables és determinar a partir d'una certa geometria original de sòlit i unes forces aplicades sobre el mateix, si el cos complix certs requisits de resistència i rigidea. Per a resoldre eixe problema, en general és necessari determinar el camp de tensions i el camp de deformacions del sòlit. Les equacions necessàries per a això són:

• equacions d'equilibri, que relacionen tensions internes del sòlit en les càrregues aplicades. Les equacions de l'estàtica són deduibles de les equacions d'equilibri.
• equacions constitutives, que relacionen tensió i deformació, i en les que poden intervindre també atres magnituts com temperatura, velocitat de deformació, deformacions plàstiques acumulades, variables d'enduriment, etc.
• equacions de compatibilitat, a partir de la qual poden calcular-se els desplaçaments en funció de les deformacions i les condicions de contorn o enllaç en l'exterior.

Tipos de sòlits deformables

Els sòlits deformables diferixen uns d'uns atres en el seu equació constitutiva. Segons siga l'equació constitutiva que relaciona les magnituts mecàniques i termodinàmiques rellevants del sòlit, es té la següent classificació per al comportament de sòlits deformables:

• Comportament elàstic: es dona quan un sòlit es deforma adquirint major energia potencial elàstica i, per tant, aumentant la seua energia interna sense que es produïxquen transformacions termodinàmiques irreversibles. La característica més important del comportament elàstic és que és reversible: si se suprimixen les forces que provoquen la deformació el sòlit torna a l'estat inicial d'abans d'aplicació de les càrregues. Dins del comportament elàstic hi ha varis subtipos:
  • Elàstic llineal isótropo, com el de la majoria de metals no deformats en fredor baixa menudes deformacions.
  • Elàstic llineal no isótropo: la fusta és material ortotrópico que és un cas particular de no-isotropía.
  • Elàstic no llineal: eixemples d'estos materials elàstics no llineals són la goma, el caucho i el hule, també el formigó o concret per a esforços de compressió menuts es comporta de manera no llineal i aproximadament elàstica.
• Comportament plàstic: ací existix irreversibilitat; encara que es retiren les forces baix les quals es varen produir deformacions elàstiques, el sòlit no torna exactament a l'estat termodinàmic i de deformació que tenia abans de l'aplicació de les mateixes. A la seua volta els subtipos són:
  • Plàstic pur: quan el material "fluïx" lliurement a partir d'un cert valor de tensió.
  • Plàstic en enduriment: quan, per a que el material acumule deformació plàstica és necessari anar aumentant la tensió.
  • Plàstic en ablandamiento
• Comportament viscós, que es produïx quan la velocitat de deformació entra en l'equació constitutiva, típicament per a deformar en major velocitat de deformació és necessari aplicar més tensió que per a obtindre la mateixa deformació en menor velocitat de deformació pero aplicada més temps. Ací es poden distinguir els següents models:

• • Viscoelástico, en que les deformacions elàstiques són reversibles. Per a velocitats de deformacions arbitrariamente menudes este model tendix a un model de comportament elàstic.
  • Viscoplástico, que inclou tant el desfasaje entre tensió i deformació per efecte de la viscosidad com la possible aparició de deformacions plàstiques irreversibles.

• Comportament en dany: ací també hi ha irreversibilitat; encara que a diferència de la plasticidad no apareixen deformacions permanents, sino una pèrdua d'irreversible de rigidea del material.

En principi, un sòlit d'un material donat és susceptible de presentar varis d'estos comportaments segons siga el ranc de tensió i deformació que predomine. Un o un atre comportament dependrà de la forma concreta de l'equació constitutiva que relaciona paràmetros mecànics importants com la tensió, la deformació, la velocitat de deformació i la deformació plàstica, junt en paràmetros com les constants elàstiques, la viscosidad i paràmetros termodinàmics com la temperatura o l'entropía.

Equacions constitutives

Els sòlits elàstics són el tipo de sòlit deformable de més senzill tractament, ya que són materials "sense memòria" que el valor de les tensions $𝝈$ en un punt $𝐱$ en un instant donat depenen solament de les deformacions $𝜺$ en el mateix punt i no de les deformacions anteriors (ni el valor d'atres magnituts en un instant anterior). Per a un sòlit elàstic l'equació constitutiva funcionalmente és de la forma:

Si el sòlit elàstic ademés és homogéneu, la funció $T(\cdot ,\cdot )$ solament dependrà del primer argument. En l'especificació anterior ${𝒯}_2({ℝ}^3)$ denota el conjunt de tensors simètrics en l'espai euclídeo tridimensional. Si el material no respon a una equació com l'anterior llavors el material és anelástico. Els materials anelásticos es caracterisen per ser materials "en memòria" en els que la tensió actual en punt depén de la deformació en el mateix punt en algun instant anterior. La viscoelasticidad és el tipo de fenomen de memòria més simple, encara que atres fenomens com l'existència de plasticidad són formes de anelasticidad que requerixen un tractament més complex. Un material en memòria totalment general respon a una equació més complexa:

Observe's que ara el segon argument de $T(\cdot ,\cdot )$ no està sobre un espai vectorial finito (tensors simètrics d'orde dos), sino sobre un espai funcional $ℱ({𝒯}_2({ℝ}^3))$ (funcions que prenen valors sobre els tensors d'orde dos). Ara no n'hi ha prou en especificar el valor actual de la deformació $𝜺$ sino que és necessari especificar el valor per a qualsevol instant de temps ${\widetilde{𝜺}}^t$ la qual cosa requerix especificar una funció del temps en la qual cosa el primer argument pertany a un espai infinitodimensional.

Afortunadament el tractament dels materials viscoelásticos i elastoplásticos convencionals pot fer-se en equacions constitutives menys generals que (2). Els sòlits viscoelásticos i elastoplásticos són casos particulars de (2) poden definir-se sobre espais de dimensió finita. Per eixemple un sòlit viscoelástico de tipo diferencial en complexitat 1, el tipo més simple de viscoelasticidad, pot ser descrit simplement per mig d'una equació constitutiva del tipo:

Si la complexitat és més alta, bastaria afegir derivades segones o terceres fins a l'orde adequat. Per a un sòlit viscoelástico llineal, pot vore's que (3) és un cas particular de (2) ya que en un sòlit viscoelástico llineal que la seua funció de relaixació siga $F(\cdot )$ la tensió es relaciona en la deformació per mig de:

que és una equació del tipo (3) que és llineal en tots els seus arguments.

Per a un material elastoplástico, els efectes "de memòria" del material es representen per mig d'una variable interna, associada a la deformació plàstica, el valor numèric de la qual va a dependre de l'història passada del material: Pero com solament importa el valor actual de la variable interna les variables seguiran definides sobre un espai de dimensió finita. Un material elastoplástico no depenent de la velocitat de deformació pot representar-se per un sistema d'equacions del tipo:

A on les variables internes $\xi$ inclouen la deformació plàstica i possiblement atres magnituts. Si el material és viscoelastoplástico llavors cal complicar una miqueta més la primera equació anterior:

Termodinàmica

Per a sòlits elàstics i viscoelásticos l'equació constitutiva, d'acort en el procediment de Coleman-Noll, pot derivar-se de l'existència d'una funció de densitat energia almagasenada. En el cas de que sòlits que puguen sofrir canvis de temperatura o entropía al deformara deu substituirse la funció de densitat d'energia per l'energia lliure de Helmholtz $\Psi (C_{AB},{\Gamma }_{\alpha },T)$ per unitat de volum. Usualment la forma de la potencial d'energia lliure es pren de la forma:

a on:

$𝐂,\overline{𝐂}$, és el tensor de Cauchy destre i el seu part desviadora.

$J$, jacobiano del gradient de deformació.

${\Gamma }_{\alpha }$ són variables que caracterisen el comportament de fluencia llenta i de relaixació.

$T$ és la temperatura.

En eixa formulació el segon tensor de tensions de Piola-Kirchhoff pot obtindre's com:

a on:

$C_{AB}$ són les components del tensor Cauchy destre a partir del com es definix el tensor de deformació material de Green-Lagrange.

Materials elàstics

Els materials elàstics són el tipo més simple de sòlit deformable a on les tensions en un punt depén solament de les deformacions coocurrentes en el mateix punt. Eixa restricció fa que els materials elàstics siguen sistemes termodinàmicament reversibles a on no hi ha malbarat. Dins dels materials elàstics ademés és freqüent la diferència entre materials elàstics llineals, a on l'equació constitutiva (1) és una funció llineal en el seu primer argument i ademés les deformacions siguen menudes($|{\epsilon }_{ij}|<10^{-2})$. Matemàticament els materials elàstics llineals són fàcilment tractables i gran part de les aplicacions pràctiques i el análsiis estructural es basen en este tipo de materials. No obstant, la linealidad entre deformacions i desplaçaments solament es dona aproximadament per a menudes deformacions i en general els problemes en grans deformacions, requerixen el seu tractament per mig d'elasticitat no llineal. Este tractament és substancialment més complex des del punt de vista matemàtic.

Teoria de l'elasticitat llineal

Artícul principal → Elasticitat (mecànica de sòlits).

Per a materials que tenen un comportament elàstic llineal, o aproximadament llineal, per a menudes o moderades deformacions. El càlcul de tensions i deformacions pot fer-se usant la teoria llineal de l'elasticitat. Esta teoria resol els problemes de mecànica de sòlits plantejant un sistema d'equacions diferencials en derivades parcials. Des del punt de vista físic els diversos subsistema d'equacions que inclou esta teoria són:

• Equacions d'equilibri intern: que relacionen les forces volumètriques (b_i) en les derivades de les tensions (σ_ij) en l'interior del sòlit:

• Equacions d'equilibri extern: Que relacionen les forces superficials o forces de contacte (f_i) aplicades en la superfície del sòlit en el valor de les tensions en el contorn del sòlit:

• Equacions constitutives o equacions de Lamé-Hooke. Són equacions algebraiques i llineals que relacionen el valor de les components del tensor tensió en el valor del tensor deformació:

• Relació entre desplaçaments i deformacions. Que relacionen les components del tensor de deformacions (ε_ij) en les components del vector de desplaçament o = (o_x, o_i, o_z):

• Condicions de contorn, que fixen el valor del desplaçament per a alguns punts del contorn exterior, normalment els punts que siguen punts d'unió del sòlit deformable a alguna atra estructura o element resistent sobre el que es recolze o ancore.

Resistència de materials

Artícul principal → Resistència de materials.

Certs problemes senzills de la mecànica de sòlits deformables en geometria simples poden tractar-se per mig de la resistència de materials clàssica. En especial per al càlcul de voltós i quan la concentració de tensions no és particularment poden plantejar-se equacions diferencials ordinàries en una variable per al càlcul de tensions i deformacions, la qual cosa fa molt fàcil el trobar solucions analítiques que aproximen les tensions del problema real tridimensional.

Ademés, molts problemes que són indeterminats segons el model de la mecànica del sòlit rígit (problemes hiperestáticos), són resolubles en el model de sòlits deformables gràcies a que s'usen equacions adicionals (equació constitutiva i equacions de compatibilitat). Normalment estes equacions adicionals s'escriuen en térmens d'esforços, deformacions o desplaçaments (Vore també: teoremes de Castigliano, equacions de Navier-Bresse, teoremes de Mohr).

Una de les principals aplicacions de la mecànica de sòlits deformables és el càlcul d'estructures en ingenieria i arquitectura. Com a camp d'estudi, la mecànica de sòlits deformables forma part de la mecànica de mijos continus. cal senyalar que els métodos simplifcados usats en resistència de materials també poden estendre's a materials en cert tipo de plasticidad o materials viscoelásticos, per lo que la resistència de materials no està llimitada estrictament a materials elàstics, encara que en la pràctica la resistència de materials no elàstics és poc usada en la pràctica, sent més comuna l'us de còdics basats en elements finitos o atres métodos computacionals i el tractament no simplificat de la geometria.