Tensor deformació

El tensor deformació o tensor de deformacions és un tensor simètric usat en mecànica de mijos continus i mecànica de sòlits deformables per a caracterisar el canvi de forma i volum d'un cos. En tres dimensions un tensor (de ranc dos) de deformació té la forma general:

$𝐃=\left(\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\end{array}\right)$

A on cada una dels components del tensor anterior és una funció el domini de la qual és el conjunt de punts del cos que la seua deformació pretén caracterisar-se. El tensor de deformacions està relacionat en el tensor de tensions per mig de les equacions de Hooke generalisades, que són relacions de tipo termodinàmic o equacions constitutives per al material del que està fet el cos.

Tinga's en conte que estos components ε_ij) en general varien de punt a punt del cos i per tant la deformació de cossos tridimensionals es representa per un camp tensorial.

Tipos de tensors de deformació

En mecànica de mijos continus es distinguix entre varis tipos de tensors per a representar la deformació. Els tensors finitos de deformació medixen la verdadera deformació, poden usar-se tant deformacions grans com a chicotetes i poden donar conte de no linealidades geomètriques. Quan les deformacions són chicotetes en prou adequació es pot usar el tensor infinitesimal de deformacions que s'obté despreciant alguns térmens no llineals dels tensors finitos. En la pràctica més comuna de l'ingenieria per a la majoria d'aplicacions pràctiques s'usen tensors infinitesimals. Ademés per als tensors finitos es diferencia entre tensors materials i tensors espacials segons siga el sistema de coordenades usat per a representar-ho.

Tensor infinitesimal de deformació

• Tensor infinitesimal de Green-Cauchy, o tensor ingenieril de deformacions, és l'usat comunament en ingenieria estructural i que constituïx una aproximació per a caracterisar les deformacions en el cas de molt chicotetes deformacions (inferiors en valor absolut a 0,01). En coordenades cartesianes dit tensor s'expressa en térmens dels components del camp de desplaçaments com seguix:

A on:

$𝐮=(u_1,u_2,u_3)=(u,v,w)$ representa el camp vectorial de desplaçaments del cos, és dir, la diferència entre la posició final i inicial de cada punt i x₁ = x, x₂ = i i x₃ = z són les coordenades preses sobre la forma geomètrica original del cos.

$𝐫=(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$ són les coordenades de cada punt material del cos.

Els components del tensor infinitesimal de Green-Cauchy admeten interpretacions físiques relativament simples:

• L'element diagonal ε_ii, també denotat ε_i, representa els canvis relatius de llongitut en la direcció i, direcció donada per l'eix X_i). La suma ε₁₁+ε₂₂+ε₃₃ és igual al canvi de volum relatiu del cos.
• Els elements ε_ij (= 1/2·γ_ij) (i ≠ j) representen deformacions angulars, més concretament la variació de l'àngul recte entre les direccions ortogonals i i j. Per tant la distorsió o canvi de forma ve caracterisada per 3 components d'este tensor deformació (ε₁₂, ε₁₃, ε₂₃).