Gradient de deformació

El gradient de deformacions és el nom que rep en mecànica de mijos continus la matriu jacobiana de la transformació que aplica la configuració inicial no deformada d'un sòlit deformable en la configuració deformada en un instant posterior.

El gradient de deformacions és útil perque a partir d'ell i el seu invers poden definir-se tots els tensors de deformació finitos, i a partir d'ells pot trobar-se el tensor tensió a través de la equació constitutiva del material deformable.

Matemàticament és representa la aplicació llineal tangente del difeomorfismo que aplica els punts de la configuració no deformada sobre els punts de la configuració deformada.

Definició

Si pensem que una deformació és una aplicació: $T_D:K\subset {ℝ}^3\to K^{\prime }\subset {ℝ}^3$ a on K és el conjunt de punts de l'espai ocupats pel sòlit (o mig continu) abans de la deformació i K' el conjunt de punts de l'espai ocupats despuix de la deformació. Llavors podem definir tensor gradient de deformacions com la derivada de T_D:

A on (X, I, Z) representen les coordenades d'un punt genèric abans de la deformació i (x, i, z) les coordenades del mateix punt despuix de la deformació.

Relació en els tensors elàstics

El tensor de Cauchy-Green destre $𝐂$ és el pullback de la mètrica euclídea associada a la configuració deformada per tant, dit tensor ve dau per:

Els tensors de deformació de Green-Lagrange $𝐄$ i de Almansi $𝐞$ també estan relacionats en el gradient de deformació:

De la mateixa manera la definició del primer $𝐏$ i segon tensor de tensions de Piola-Kirchhoff $𝐒$ involucren al gradient de deformació: