Elasticitat (mecànica de sòlits)

Una vareta elàstica vibrant, és un eixemple de sistema a on l'energia potencial elàstica es transforma en energia cinètica i viceversa aplicada a usos bàsics de física

En física, el terme elasticitat es referix a la propietat mecànica de certs materials que consistix en la capacitat d'experimentar deformacions reversibles front a l'acció de forces externes, recuperant la seua configuració original en cessar la seua acció.

Introducció

L'elasticitat és estudiada per la teoria d'elasticitat, que a la seua volta és part de la mecànica de sòlits deformables. La teoria de l'elasticitat com la mecànica de sòlits deformables descriu cóm un sòlit (o decorregut totalment confinat) es mou i deforma com a resposta a forces exteriors. La diferència entre la teoria d'elasticitat i la mecànica de sòlits és que la primera solament tracta sòlits en que les deformacions són termodinámicamente reversibles i en els que l'estat tensions $𝝈$ en un punt $𝐱$ en un instant donat depenen solament de les deformacions $𝜺$ en el mateix punt i no de les deformacions anteriors (ni el valor d'atres magnituts en un instant anterior). Per a un sòlit elàstic la equació constitutiva funcionalmente és de la forma:

a on ${𝒯}_2({ℝ}^3)$ denota el conjunt de tensors simètrics de segon orde del espai euclídeo. Si el sòlit és homogéneu el valor de la funció anterior no dependrà del segon argument.

La propietat elàstica dels materials està relacionada, com s'ha mencionat, en la capacitat d'un sòlit de sofrir transformacions termodinàmiques reversibles i independència de la velocitat de deformació (els sòlits viscoelásticos i els decorreguts, per eixemple, presenten tensions depenents de la velocitat de deformació). Quan sobre un sòlit deformable actuen forces exteriors i este es deforma es produïx un treball d'estes forces que s'almagasena en el cos en forma d'energia potencial elàstica i per tant es produirà un aument de la energia interna.

Elasticitat llineal

Un cas particular de sòlit elàstic es presenta quan les tensions i les deformacions estan relacionades linealmente, per mig de la següent equació constitutiva:

Quan això succeïx es diu que el sòlit és elàstic llineal. La teoria de l'elasticitat llineal és l'estudi de sòlits elàstics llineals somesos a chicotetes deformacions de tal manera que ademés els desplaçaments i deformacions siguen «llineals», és dir, que les components del camp de desplaçaments o siguen molt aproximadament una combinació llineal de les components del tensor deformació del sòlit. En general un sòlit elàstic llineal somés a grans desplaçaments no complirà esta condició. Per tant la teoria de l'elasticitat llineal solament és aplicable a:

• Sòlits elàstics llineals, en els que tensions i deformacions estiguen relacionades linealmente (linealidad material).
• Deformacions menudes és el cas en que deformacions i desplaçaments estan relacionats linealmente. En este cas pot usar-se el tensor deformació llineal de Green-Lagrange per a representar l'estat de deformació d'un sòlit (linealidad geomètrica).

Pels menuts desplaçaments i deformacions als que són somesos els cossos, s'usen les següents simplificació i aproximacions per a sistemes estables:

• Les tensions es relacionen en les superfícies no deformades
• Les condicions d'equilibri es presenten per al sistema no deformat

Per a determinar l'estabilitat d'un sistema hi ha presentar les condicions d'equilibri per al sistema deformat i per això és cuantativa

Tensió

Components del tensor tensió en un punt P d'un sòlit deformable

La tensió en un punt es definix com el llímit de la força aplicada sobre una menuda regió sobre un pla π que continga al punt dividida de l'àrea de la regió, és dir, la tensió és la força aplicada per unitat de superfície i depén del punt elegit, de l'estat tensional del sòlit i de l'orientació del pla triat per a calcular el llímit. Pot provar-se que la normal al pla triat n_π i la tensió t_π en un punt estan relacionades per:

$t_{\pi }=𝐓(n_{\pi })$

A on T és el cridat tensor tensió, també cridat tensor de tensions, que fixada una base vectorial ortogonal ve representat per una matriu simètrica 3x3:

A on la primera matriu és la forma comuna d'escriure el tensor tensió en física i la segona forma usa les convencions comunes en ingenieria. Donada una regió en forma d'ortoedro en cares paraleles als eixos coordenados situat en l'interior un sòlit elàstic tensionado les components σ_xx, σ_yy i σ_zz donen conte de canvis de llongitut en les tres direccions, pero que no distorsinan els ànguls del ortoedro, mentres que les components σ_xy, σ_yz i σ_zx estan relacionades en la distorsió angular que convertiria el ortoedro en un paralelepípede.

Deformació

En teoria llineal de l'elasticitat la pequeñez de les deformacions és una condició necessària per a assegurar que existix una relació llineal entre els desplaçaments i la deformació. Baixe eixes condicions la deformació pot representar-se adequadament per mig del tensor deformació infinitesimal o tensor de chicotetes deformacions (este tensor solament és vàlit per a algunes situacions, sent est un cas particular dels tensors de Cauchy-Almansy i Green-Saint-Venant) que ve donada per:

Els components de la diagonal principal contenen els allargament (dilatació), mentres que el restant dels components del tensor són els mijos desplaçaments. Les components estan linealmente relacionades en els desplaçaments per mig d'esta relació:

Equacions constitutives de Lamé-Hooke

Les equacions de Lamé-Hooke són les equacions constitutives d'un sòlit elàstic llineal, homogéneu i isótropo, tenen la forma:

${\sigma }_{ij}=\sum _{k,l}{C}_{ijkl}{\epsilon }_{kl}$

En el cas d'un problema unidimensional, σ = σ₁₁, ε = ε₁₁, C₁₁ = I i l'equació anterior es reduïx a:

$\sigma =Eϵ,$

a on I és el mòdul d'elasticitat llongitudinal o mòdul de Young i G el mòdul d'elasticitat travessera. Per a caracterisar el comportament d'un sòlit elàstic llineal i isótropo es requerixen ademés del mòdul de Young una atra constant elàstica, cridada coeficient de Poisson ($\nu$) i el coeficient de temperatura (α). Per un atre costat, les equacions de Lamé per a un sòlit elàstic llineal i isótropo poden ser deduïdes del teorema de Rivlin-Ericksen, que poden escriure's en la forma:

${ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{xx}-\nu ({\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})]+\alpha \Delta T{ϵ}_{xy}=\frac{(1+\nu )}{E}{\sigma }_{xy}=\frac{{\sigma }_{xy}}{2G}$

${ϵ}_{yy}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{yy}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{zz})]+\alpha \Delta T{ϵ}_{yz}=\frac{(1+\nu )}{E}{\sigma }_{yz}=\frac{{\sigma }_{yz}}{2G}$

${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]+\alpha \Delta T{ϵ}_{xz}=\frac{(1+\nu )}{E}{\sigma }_{xz}=\frac{{\sigma }_{xz}}{2G}$

Les equacions inverses de les anteriors són:

${\sigma }_{xx}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[{ϵ}_{xx}(1-\nu )+\nu ({ϵ}_{yy}+{ϵ}_{zz})+\alpha \Delta T(1+\nu )]{\sigma }_{xy}=2G{ϵ}_{xy}$

${\sigma }_{yy}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[{ϵ}_{yy}(1-\nu )-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{zz})+\alpha \Delta T(1+\nu )]{\sigma }_{yz}=2G{ϵ}_{yz}$

${\sigma }_{zz}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[{\sigma }_{zz}(1-\nu )-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})+\alpha \Delta T(1+\nu )]{\sigma }_{xz}=2G{ϵ}_{xz}$

Les equacions constitutives per a materials anisótropos són més complexes i depenen de més constants elàstiques. cal senyalar també que certs materials mostren un comportament solament aproximadament elàstic, mostrant per eixemple variació de la deformació en el temps o fluencia llenta. Estes deformacions poden ser permanents o despuix de descarregar el cos poden desaparéixer (parcial o completament) en el temps (viscoplasticidad, viscoelasticidad). Ademés alguns materials poden presentar plasticidad o danye continu. En la plasticidad els sòlits adquirixen deformacions permanents a partir de cert llindar de tensió, per lo que les equacions anteriors en molts casos tampoc constituïxen una bona aproximació al comportament d'estos materials. En els sòlits en dany continu les constants elàstiques poden variar si se sobrepassen certs llindars de tensió.

Equacions d'equilibri

Equilibri intern

Quan les deformacions no varien en el temps, el camp de tensions donat pel tensor tensió representa un estat d'equilibri en les forces de volum b = (b_x,b_i,b_z) en tot punt del sòlit, la qual cosa implica que el camp de tensions satisfà estes condicions d'equilibri:

$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}+b_x=0$

$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zy}}{\partial z}+b_y=0$

$\frac{\partial {\sigma }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}+b_z=0$

Equilibri en el contorn

Ademés de les últimes equacions deuen complir-se les condicions de contorn, sobre la superfície del sòlit, que relacionen el vector normal a la mateixa n = (n_x,n_i,n_z) (dirigit cap a l'exterior) en les forces per unitat de superfície que actuen en el mateix punt de la superfície f = (f_x,f_i,f_z):

${\sigma }_{xx}{n}_x+{\sigma }_{yx}{n}_y+{\sigma }_{zx}{n}_z=f_x$

${\sigma }_{xy}{n}_x+{\sigma }_{yy}{n}_y+{\sigma }_{zy}{n}_z=f_y$

${\sigma }_{xz}{n}_x+{\sigma }_{yz}{n}_y+{\sigma }_{zz}{n}_z=f_z$

Problema elàstic

Artícul principal → Problema elàstic.

Un problema elàstic llineal queda definit per la geometria del sòlit, les propietats de dit material, unes forces actuantes i unes condicions de contorn que imponen restriccions al moviment de cos. A partir d'eixos elements és possible trobar un camp de tensions internes sobre el sòlit (que permetrà identificar els punts que soporten més tensió) i un camp de desplaçaments (que permetrà trobar si la rigidea de l'element resistent és l'adequada per al seu us).

Elasticitat (mecànica de sòlits)

Per a plantejar el problema elàstic són necessàries les nocions que han segut descrites en les seccions anteriors, que descriuen les tensions, les deformacions i els desplaçaments d'un cos. Totes estes magnituts vénen descrites per 15 funcions matemàtiques:

• Les sis components del tensor de tensions ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$ i ${\sigma }_{xy},{\sigma }_{yz},{\sigma }_{zx}$.
• Les tres components del vector de desplaçaments: $u_x,u_y,u_z$.
• Les sis components del tensor de deformacions: ${\epsilon }_x,{\epsilon }_y,{\epsilon }_z$ i ${\epsilon }_{xy},{\epsilon }_{yz},{\epsilon }_{zx}$.

Per a comprovar si es complixen estes relacions, formades per 15 funcions, el següent pas és comprovar si les relacions descrites fins ara basten per a descriure completament l'estat d'un cos. Una condició necessària per a això és que el número d'equacions disponibles coincidixca en el número d'incògnites. Les equacions disponibles són:

• Les tres equacions d'equilibri de Cauchy.
• Les sis equacions de compatibilitat de Saint-Venant, que asseguren que els desplaçaments i deformacions estan adequadament relacionats.
• Les sis equacions constitutives, per a un material elàstic llineal isótropo i homogéneu estes equacions vénen donades per les equacions de Lamé-Hooke.

Estes 15 equacions igualen exactament el número d'incògnites. Un método comú és substituir les relacions entre desplaçaments i deformacions en les equacions constitutives, la qual cosa fa que es complixquen les equacions de compatibilitat trivialmente. A la seua volta el resultat d'esta substitució es pot introduir en les equacions d'equilibri de Cauchy la qual cosa convertix l'anterior sistema en un sistema de tres equacions en derivades parcials i tres desplaçaments com a incògnita.

D'esta manera s'aplega a un sistema de 15 equacions en 15 incògnites. La formulació més simple per a resoldre el problema elàstic és la cridada formulació de Navier, esta formulació reduïx el sistema a un sistema de tres equacions diferencials per als desplaçaments. Açò es conseguix insertant en les equacions d'equilibri les equacions pròpies del material, les equacions dels desplaçaments i les equacions de les deformacions podem expressar el nostre sistema d'equacions en un sistema de tres equacions diferencials parcials. Si ho reduïm cap a les components del vector de desplaçaments apleguem a les equacions de Navier:

$G[\frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial z^2}+\frac{1}{1-2\nu }\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z})]+b_x=0$

$G[\frac{{\partial }^2{u}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{u}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{u}_y}{\partial z^2}+\frac{1}{1-2\nu }\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z})]+b_y=0$

$G[\frac{{\partial }^2{u}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{u}_z}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{u}_z}{\partial z^2}+\frac{1}{1-2\nu }\frac{\partial }{\partial z}(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z})]+b_z=0$

Que en l'operador Nabla i l'operador de Laplace es deixen escriure com:

$G[\Delta 𝐮+\frac{1}{1-2\nu }\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)]+𝐛=0$

Per mig de consideracions energètiques es pot demostrar que estes equacions presenten una única solució.

Elasticitat i disseny mecànic

En ingenieria mecànica és freqüent plantejar problemes elàstics per a decidir l'adequació d'un disseny. En certes situacions d'interés pràctic no és necessari resoldre el problema elàstic complet sino que n'hi ha prou en plantejar un model simplificat i aplicar els métodos de la resistència de materials per a calcular aproximadament tensions i desplaçaments. Quan la geometria involucrada en el disseny mecànic és complexa la resistència de materials sol ser insuficient i la resolució exacta del problema elàstic inabordable des del punt de vista pràctic. En eixos casos s'usen habitualment métodos numèrics com el Método dels elements finitos per a resoldre el problema elàstic de manera aproximada. Un bon disseny normalment incorpora uns requisits de:

• resistència adequada,
• rigidea adequada,
• estabilitat global i elàstica.