Equació de compatibilitat

Una equació de compatibilitat és una equació adicional a un problema mecànic d'equilibri necessària per a assegurar que la solució buscada és compatible en les condicions de contorn o per a poder assegurar la integrabilidad del camp de deformacions.

Equacions de compatibilitat en deformacions

En el plantejament del problema elàstic, les equacions de compatibilitat són equacions que si es complixen garantisen l'existència d'un camp de desplaçaments compatible en les deformacions calculades. En atres paraules, les equacions de compatibilitat són les condicions necessàries de integrabilidad per al camp de desplaçaments en térmens de les components del tensor deformació.

Elasticitat llineal

En elasticitat llineal una deformació serà físicament possible si és compatible en un determinat camp de desplaçaments $𝐮$ és dir si es complixen les següents relacions per a les components del tensor deformació:

Normalment les components del camp de desplaçament són desconegudes per lo que necessitem una relació expressable només en térmens de les components del tensor deformació. L'expressió buscada és precisament:

Estes últimes relacions són precisament les que es coneixen com a equacions de compatibilitat de la elasticitat llineal.

Elasticitat no llineal

En teoria de l'elasticitat no llineal la relació entre el vector de desplaçaments i les components del tensor tensió són no llineals i substancialment més complicades:

Per lo que les equacions de compatibilitat en elasticitat no llineal també són no llineals:

A on els símbols de Christoffel vénen daus per:

${\Gamma }_{abc}=\frac{\partial {\epsilon }_{ac}}{\partial x_b}+\frac{\partial {\epsilon }_{cb}}{\partial x_a}-\frac{\partial {\epsilon }_{ab}}{\partial x_c}$

L'equació (2) es pot reinterpretar en térmens de geometria diferencial, si considerem que el sòlit es deforma sobre un espai euclídeo una volta deformat les coordenades materials deixaran de ser cartesianas i la medició de distàncies requerirà l'us d'un tensor mètric de la forma:

I en eixe cas la condició (2) no expressa més que el tensor de Riemann de l'espai euclídeo expressat en esta mètrica deu ser nul $R_{ijkl}=0$

Equacions de compatibilitat en desplaçaments

En freqüència, en problemes mecànics o de resistència de materials hiperestáticos el càlcul d'alguna força o una atra magnitut resulta insuficient a partir de les condicions d'equilibri. En eixe cas, les equacions d'equilibri formen un sistema compatible indeterminat. ya que la situació física real sí presenta una solució unívoca, és dir, les peces mecàniques prenen valors de tensió concrets i les reaccions reals tenen valors totalment determinats, concloem que les equacions d'equilibri deuen ser complementades en algun atre tipo d'informació adicional que faça que el problema siga determinat.

De fet, molts problemes es tornen completament determinats si tenim en conte que els desplaçaments observats en la realitat tenen valors determinats. Aixina si introduïm equacions que expressen certs desplaçaments en funció del restant de variables, podem aplegar a construir un sistema d'equacions compatible determinat. Dit sistema estaria format per l'equacions d'equilibri, i vàries equacions adicionals anomenades equacions de compatibilitat.

(Fig. 1) Problema unidimensional estáticamente indeterminat.

Per eixemple en la figura (Fig. 1) es mostra un problema unidimensional consistent en l'aplicació d'una força en un punt intermig empotrat en els seus extrems. En este cas, el problema és estáticamente indeterminat o hiperestático l'anàlisis de forces du a una única equació per a les dos reaccions incògnita existents:

En est case P és una força coneguda. Per a poder determinar les reaccions observem que la part esquerra (entre R_A i P) està traccionada i per tant s'estirarà, mentres que la part dreta (entre P i R_B) està comprimida i per tant s'encollirà. ya que la peça és un únic sòlit deformable el estiramiento de part esquerra compensarà exactament l'acurtada de la part dreta, de lo contrari la peça es trencaria. Per tant estiramiento i acurtada deuen ser compatibles, eixa és precisament la condició de compatibilitat adicional que resol el problema:

Les equacions adicionals poden obtindre's per diversos métodos, per eixemple usant el teoremes de Castigliano o usant l'equació de la curva elàstica. Si el problema és suficientment senzill, com en l'eixemple anterior, pot trobar-se l'equació de compatibilitat directament.