Material simple

Un material simple és un mig continu que la seua equació constitutiva té la propietat de que la tensió mecànica en cada punt només depén de l'història temporal del gradient de deformació $𝐅$ en un entorn de dit punt (és dir, de les derivades primeres del desplaçament, no de les derivades segones o órdens superiors). En atres paraules la tensió depén localment de l'història de deformació al voltant de dit punt.

Cas general

Per a un material simple (sòlit deformable o decorregut), el tensor tensió (de Cauchy) ve dau per una relació del tipo:

a on:

$ℱ:H^m(\Omega )\times {ℝ}^3\times ℝ\to \text{Sym}(T_2^0(\Omega ))$

${𝐅}_t(X,\cdot )\in H^m(\Omega )$, desinga un espai de Sóbolev (encara que esta part de la definició és prescindible i es pot usar un atre tipo d'espai funcional convenient).

$(X,t)\in {ℝ}^3\times ℝ$, denoten les coordenades materials i el temps.

$\text{Sym}(T_2^0(\Omega ))$ designa el fibrado tangente format per tensors covariants de segon orde simètrics.

${𝐅}_t(X,s):=𝐅(X,t-s)$, per definició, per a $\mathrm{\forall }s\in [0,\mathrm{\infty })$

La funció definida per ${𝐅}_t(X,\cdot )$ es denomina "història fins a l'instant t". La condició de que un material siga simple, és una de les simplificació més importants propostes per Noll, que definix una important classe de mijos continus.

Noll va demostrar que el funcional $ℱ$ per a materials simples satisfà el principi d'objectivitat material, si i només si és independent del temps t Açò implica que un material simple i objectiu té una equació constitutiva de la forma:

Casos particulars

Materials elàstics simples

En particular, per a un "material simple sense memòria" es tindrà que en la forma funcional no és es pot substituir l'espai funcional per ${ℝ}^n$ i el tensor tensió es podrà expressar en térmens dels valors instantàneus del gradient de deformació:

Un material en una equació constitutiva del tipo (3a) es denomina material elàstic simple, si ademés la resposta a la deformació d'un elàstic simple és la mateixa en tots els punts ell diu que és un "material elàstic simple i homogéneu" i l'equació es pot simplificar més encara:

Atres materials simples

Si el material simple és un material en memòria, com succeïx en els materials viscoelásticos, materials elastoplásticos o els decorreguts simples, en general serà necessari seguir usant la "història fins al temps t" i la forma funcional serà més complicada. No obstant, tant en materials simples viscoelásticos i plàstics es poden fer ulteriors simplificació de la forma funcional que dona l'equació constitutiva via les cridades "variables internes".

Per una atra part, alguns sòlits deformables presenten comportaments més complicats que la viscoelasticidad o la elastoplasticidad i en ells l'única possibilitat consistix en seguir usant una "història fins al temps t" explícitament del tipo ${𝐅}_t(X,\cdot )$.

Referències

Bibliografia

• Noll, W. "A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous mija". Archive for Rational and Mechanical Analysis, 2, 197–226, (1958/1959).
• Truesdell, C. and Noll,W. "The Senar-linear Field Theory of Mechanics", Handbuch der Physik III/3, Springer, Berlín, 1965.
• Smith, D. An Introduction to Continuum Mechanics, Solid Mechanics and Its Applications, Vol. 22, Kluwer, Dordrecht,

1993.