Derivada material

En Mecànica de mijos continus, la derivada material^[1]^[2] descriu la variació temporal d'alguna cantitat física (com calor o impulse) d'una partícula decorreguda que està subjecte a variacions del camp de velocitat macroscòpica depenents de l'espai i el temps d'eixa cantitat física. La derivada material pot servir com un enllaç entre les descripcions eulerianas i lagrangianas de la deformació contínua.^[3]

Per eixemple, en dinàmica de decorreguts, el camp de velocitat és la velocitat del fluix i la cantitat d'interés pot ser la temperatura del decorregut. En el cas del qual, la derivada del material descriu el canvi de temperatura d'una determinada parcela de decorregut en el temps, a mida que fluïx a lo llarc de la seua llínea de trayectòria (trayectòria).

Noms

Hi ha molts atres noms per a la derivada material, incloent:

derivada advectiva ^[4]
derivada convectiva ^[5]
derivada seguint el moviment ^[1]
derivada hidrodinàmica ^[1]
derivada de Lagrange ^[6]
derivada de partícula ^[7]
derivada substancial ^[1]
derivada substantiva ^[8]
derivada de Stokes ^[8]

derivada total ^[1]^[9]

Definició

La derivada del material es definix per a qualsevol camp tensorial i que siga macroscòpic, en el sentit de que depén solament de les coordenades de posició i temps, i = i(x, t) :

\frac{D y}{D t} \equiv \frac{\partial y}{\partial t} + 𝐮 \cdot \nabla y,

a on ∇i és la derivada covariant del tensor, i o (x, t) és la velocitat del fluix. En general, la derivada convectiva del camp o·i, la que conté la derivada covariant del camp, pot interpretar-se com que involucra la derivada tensorial del camp o · (∇ i ) o com la derivada direccional del camp (o·∇) i , que du al mateix resultat.^[10] Solament este terme espacial que conté la velocitat del fluix descriu el transport del camp en el fluix, mentres que l'atre descriu la variació intrínseca del camp, independentment de la presència de qualsevol fluix. Confusament, a voltes el nom "derivada convectiva" s'usa per a tot la derivada material D/Dt , en lloc de sol per al terme espacial o·∇,^[2] que també és una nomenclatura redundante. En la nomenclatura no redundante, la derivada material solament és igual a la derivada convectiva per als fluix absents. L'efecte dels térmens independents del temps en les definicions és per al cas escalar i tensor, respectivament, conegut com advección i convecció.

Campos escalares i vectorials

Per eixemple, per a un camp escalar macroscòpic φ(x, t) i un camp vectorial macroscòpic A(x, t) la definició es convertix en:

\frac{D φ}{D t} \equiv \frac{\partial φ}{\partial t} + 𝐮 \cdot \nabla φ,

\frac{D 𝐀}{D t} \equiv \frac{\partial 𝐀}{\partial t} + 𝐮 \cdot \nabla 𝐀 .

En el cas escalar, ∇ φ és simplement el gradient d'un escalar, mentres que ∇A és la derivada covariant del vector macroscòpic (que també es pot considerar com la matriu jacobiana de A en funció de x). En particular, per a un camp escalar en un sistema de coordenades cartesiano tridimensional ( x₁, x₂, x₃), les components de la velocitat o són o₁, o₂, o₃, el terme convectivo és llavors:

𝐮 \cdot \nabla φ = u_{1} \frac{\partial φ}{\partial x_{1}} + u_{2} \frac{\partial φ}{\partial x_{2}} + u_{3} \frac{\partial φ}{\partial x_{3}} .

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Bird, R.B.; Stewart, {{{nom2}}}; Lightfoot, {{{nom3}}} (2007). Transport Phenomena, Revised Second edició, John Wiley & Sons, p. 83. ISBN 978-0-470-11539-8.
↑ ^2,0 ^2,1 Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluïu Dynamics, Cambridge University Press, pp. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.
↑ Trenberth, K. E. (1993). Climate System Modeling, Cambridge University Press, p. 99. ISBN 0-521-43231-6.
↑ Majda, A. (2003). Introduction to PDÉs and Waves for the Atmosphere and Ocean, American Mathematical Society, p. 1. ISBN 0-8218-2954-8.
↑ Ockendon, H.; Ockendon, {{{nom2}}} (2004). Waves and Compressible Flow, Springer, p. 6. ISBN 0-387-40399-X.
↑ Mellor, G.L. (1996). Introduction to Physical Oceanography, Springer, p. 19. ISBN 1-56396-210-1.
↑ Stoker, J.J. (1992). Water Waves: The Mathematical Theory with Applications, Wiley, p. 5. ISBN 0-471-57034-6.
↑ ^8,0 ^8,1 Granger, R.A. (1995). Fluïu Mechanics, Courier Dover Publications, p. 30. ISBN 0-486-68356-7.
↑ Landau, L.D.; Lifshitz, {{{nom2}}} (1987). Fluïu Mechanics, 2nd edició, Butterworth-Heinemann, pp. 3–4 & 227. ISBN 0-7506-2767-0.
↑ Emanuel, G. (2001). Analytical fluïu dynamics, second edició, CRC Press, pp. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.

Este artícul conté una traducció derivada de «Derivada material» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[BSLr2-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Bird, R.B.; Stewart, {{{nom2}}}; Lightfoot, {{{nom3}}} (2007). Transport Phenomena, Revised Second edició, John Wiley & Sons, p. 83. ISBN 978-0-470-11539-8.

[Batchelor-2] 2,0 ^2,1 Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluïu Dynamics, Cambridge University Press, pp. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.

[Trenberth-3] Trenberth, K. E. (1993). Climate System Modeling, Cambridge University Press, p. 99. ISBN 0-521-43231-6.

[4] Majda, A. (2003). Introduction to PDÉs and Waves for the Atmosphere and Ocean, American Mathematical Society, p. 1. ISBN 0-8218-2954-8.

[Ockendon-5] Ockendon, H.; Ockendon, {{{nom2}}} (2004). Waves and Compressible Flow, Springer, p. 6. ISBN 0-387-40399-X.

[Mellor-6] Mellor, G.L. (1996). Introduction to Physical Oceanography, Springer, p. 19. ISBN 1-56396-210-1.

[7] Stoker, J.J. (1992). Water Waves: The Mathematical Theory with Applications, Wiley, p. 5. ISBN 0-471-57034-6.

[Granger-8] 8,0 ^8,1 Granger, R.A. (1995). Fluïu Mechanics, Courier Dover Publications, p. 30. ISBN 0-486-68356-7.

[9] Landau, L.D.; Lifshitz, {{{nom2}}} (1987). Fluïu Mechanics, 2nd edició, Butterworth-Heinemann, pp. 3–4 & 227. ISBN 0-7506-2767-0.

[10] Emanuel, G. (2001). Analytical fluïu dynamics, second edició, CRC Press, pp. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]