Derivada funcional

En les matemàtica i la física teòrica, la derivada funcional és una generalisació de la derivada usual que es presenta en el càlcul de variacions. En una derivada funcional, en lloc de diferenciar una funció sobre una variable, un diferencia una funcional sobre una funció.

Definició

Dos possibles definicions restringides convenientment per a certs còmput es donen ací. Hi ha definicions més generals de derivades funcionals. La primera d'elles és la derivada de Gâuteaux (que generalisa el concepte de derivada direccional a espais Banach de dimensió infinita):

Per a qualsevol funcional $F$ que aplica funcions $\phi :ℳ\to {ℝ}^n$ definides sobre una varietat $ℳ$ (note's que el conjunt d'estes funcions forma un espai de Banach), llavors, la derivada funcional en el sentit de Gâteaux és una distribució tal que para totes les funcions de prova (test) f:

El llímit anterior no té per qué existir, pijor encara, aun cuando el llímit existix pot dependre de la funció f triada, per lo que la definició anterior deu entendre's més be com una generalisació de la derivada direccional, més que com una generalisació del concepte de funció diferenciable.

Definició alternativa

També es pot definir la derivada funcional en térmens d'un llímit que involucra la delta de Dirac, δ:

Les definicions (1) i (2) no són equivalents, ya que el resultat de la primera és sempre un atre funcional, mentres que el resultat de la segona definició és una distribució. Açò s'ilustra en el següent eixemple:

Les derivades en els dos sentits anteriors vénen donades per:

Referències

Bibliografia

• Robert M. Wald (1984): General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.