Producte exterior

En matemàtiques, el producte exterior de vectores (o producte de falca, pel símbol $\land$ utilisat per a denotar-ho) és una construcció algebraica utilisada en geometria per a estudiar àreas, volums i els seus anàlecs de dimensions superiors. El producte exterior de dos vectores $u$ i $v$ , denotat per $u \land v$ , es diu bivector i pertany a un espai cridat quadrat exterior, un espai vectorial que és distint de l'espai original dels vectores. La magnitut^[1] de $u \land v$ es pot interpretar com l'àrea del paralelogramo en costats $u$ i $v$ , que també es pot calcular per mig del determinant de la matriu formada en abdós vectores, o en tres dimensions a través del producte vectorial d'abdós. De manera més general, totes les superfícies planes paraleles en la mateixa orientació i àrea tenen el mateix bivector com a mida de la seua àrea orientada. De la mateixa manera que el producte creuat, el producte exterior és anticonmutativo, lo que significa que $u \land v = - (v \land u)$ per a tots els vectores $u$ i $v$ , pero, a diferència del producte creuat, el producte exterior és associatiu.

Quan es considera d'esta manera, el producte exterior de dos vectores es denomina de 2-fulls. De manera més general, el producte exterior de qualsevol número k de vectores es pot definir com una k-full. Pertany a un espai conegut com la k-ésima potència exterior. La magnitut de la k-full resultant és el volum de la dimensió k d'un paralelotopo les arestes del qual són els vectores donats, aixina com la magnitut del producte mixt dels vectores en tres dimensions dona el volum del paralelepípede generat per eixos vectores.

El àlgebra exterior o àlgebra de Grassmann, denominada aixina en referència a Hermann Grassmann,^[2] és el sistema algebraic el producte del qual és el producte exterior. L'àlgebra exterior proporciona un entorn algebraic en el que manejar qüestions geomètriques. Per eixemple, els fulls tenen una interpretació geomètrica concreta i els objectes en l'àlgebra exterior poden manipular-se d'acort en un conjunt de regles inequívoques. L'àlgebra exterior conté objectes que no són solament k-fulls, sino sumes de k-fulls; tal sumixca es diu k-vector.^[3] Les k-fulls, degut a que són productes simples de vectores, es denominen elements simples de l'àlgebra. El ranc de qualsevol vector k es definix com el número més chicotet d'elements simples dels que és una suma. El producte exterior s'estén a l'àlgebra exterior completa, per lo que té sentit multiplicar dos elements qualssevol de l'àlgebra. Equipada en este producte, l'àlgebra exterior és un àlgebra associativa, lo que significa que $α \land (β \land γ) = (α \land β) \land γ$ per a qualsevol element $α, β, γ$ . Els k vectores tenen grau k, lo que significa que són sumes de productes de k vectores. Quan es multipliquen elements de diferents graus, els graus se sumen com en una multiplicació de polinomis. Açò significa que l'àlgebra exterior és un àlgebra graduada.

La definició de l'àlgebra exterior té sentit per a espais no solament de vectores geomètrics, sino d'atres objectes similars a vectores com camps vectorials o funcions. En general, l'àlgebra exterior es pot definir para mòduls sobre un anell conmutativo, i per a atres estructures d'interés en àlgebra abstracta. És una d'estes construccions més generals a on l'àlgebra exterior troba una de les seues aplicacions més importants, a on apareix com l'àlgebra de formes diferencials que és fonamental en àrees que usen la geometria diferencial. L'àlgebra exterior també té moltes propietats algebraiques que la convertixen en una ferramenta convenient en l'àlgebra mateixa. L'associació de l'àlgebra exterior a un espai vectorial és un tipo de funtor en espais vectorials, lo que significa que és compatible de certa manera en l'aplicació llineal d'espais vectorials. L'àlgebra exterior és un eixemple de biálgebra, lo que significa que el seu espai dual també posseïx un producte, i este producte dual és compatible en el producte exterior. Este àlgebra dual és precisament l'àlgebra de formes multilineales, i el emparejamiento entre l'àlgebra exterior i el seu dual ve dau pel producte intern.

Eixemples

Àrees en el pla

El sistema de coordenades cartesianas R² és un espai vectorial real equipat en una base que consta d'un parell de vectores unitaris

𝐞_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}], 𝐞_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] .

Ara, se supon que

𝐯 = [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}] = a 𝐞_{1} + b 𝐞_{2}, 𝐰 = [\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}] = c 𝐞_{1} + d 𝐞_{2}

són un parell de vectores donats en R², escrits en components. Hi ha un paralelogramo únic que té v i w com dos dels seus costats. El àrea d'este paralelogramo ve donada per la fòrmula estàndar del determinant:

Area = | \det [\begin{matrix} 𝐯 & 𝐰 \end{matrix}] | = | \det [\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}] | = | a d - b c | .

Considere's ara el producte exterior de v i w:

\begin{matrix} 𝐯 \land 𝐰 & = (a 𝐞_{1} + b 𝐞_{2}) \land (c 𝐞_{1} + d 𝐞_{2}) \\ = a c 𝐞_{1} \land 𝐞_{1} + a d 𝐞_{1} \land 𝐞_{2} + b c 𝐞_{2} \land 𝐞_{1} + b d 𝐞_{2} \land 𝐞_{2} \\ = (a d - b c) 𝐞_{1} \land 𝐞_{2} \end{matrix}

a on el primer pas usa la llei distributiva per al producte exterior, i l'últim usa el fet de que el producte exterior és altern, i en particular $𝐞_{𝟐} \land 𝐞_{𝟏} = - (𝐞_{𝟏} \land 𝐞_{𝟐})$ . El fet de que el producte exterior siga altern també força a que $𝐞_{1} \land 𝐞_{1} = 𝐞_{2} \land 𝐞_{2} = 0$ . Note's que el coeficient en esta última expressió és precisament el determinant de la matriu [v w]. El fet de que el resultat puga ser positiu o negatiu té el significat intuïtiu de que v i w poden estar orientats en sentit contrari a les agulles del rellonge o en sentit horari com els vèrtiços del paralelogramo que definixen. Tal àrea es diu "àrea en signe" del paralelogramo: el valor absolut de l'àrea en signe és l'àrea ordinària i el signe determina la seua orientació.

El fet de que este coeficient siga l'àrea en signe no és alguna cosa accidental. De fet, és relativament fàcil vore que el producte exterior deuria estar relacionat en l'àrea en signe si s'intenta axiomatizar esta àrea com una construcció algebraica. En detalle, si A(v, w) denota l'àrea en signe del paralelogramo del com el parell de vectores v i 'w' formen dos costats adjacents, llavors A deu satisfer les següents propietats:

A(rv, sw) = rsA(v, w) per a qualsevol número real r i s, ya que en canviar l'escala de qualsevol dels costats es canvia l'escala de l'àrea en la mateixa cantitat (i en invertir la direcció d'un dels costats s'invertix l'orientació del paralelogramo).
A(v, v) = 0, ya que l'àrea del paralelogramo degenerado determinada per v (és dir, un segment) és zero.
A(w, v) = −A(v, w), ya que intercanviar els papers de v i w invertix l'orientació del paralelogramo.

A(v + rw, w) = A(v, w) per a qualsevol número real r, ya que sumar un múltiple de w a v no afecta ni a la base ni a l'altura del paralelogramo i per lo tant preserva la seua àrea.
A(i₁, i₂) = 1, ya que l'àrea del quadrat unitari és un.

En l'excepció de l'última propietat, el producte exterior de dos vectores satisfà les mateixes propietats que l'àrea. En cert sentit, el producte exterior generalisa la propietat final en permetre comparar l'àrea d'un paralelogramo en la de qualsevol paralelogramo elegit en un pla paralel (ací, el que té costats 'i' ₁ i 'i' ₂). En atres paraules, el producte exterior proporciona una formulació d'àrea independent de la base.^[4]

Productes creuats i triples

Per als vectores en un espai vectorial 3-dimensional orientat en un producte escalar bilineal, l'àlgebra exterior està estretament relacionada en el producte vectorial i el producte mixt. Usant una base canònica (i₁, i₂, i₃), el producte exterior d'un parell de vectores

𝐮 = u_{1} 𝐞_{1} + u_{2} 𝐞_{2} + u_{3} 𝐞_{3}

i

𝐯 = v_{1} 𝐞_{1} + v_{2} 𝐞_{2} + v_{3} 𝐞_{3}

és

𝐮 \land 𝐯 = (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) (𝐞_{1} \land 𝐞_{2}) + (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) (𝐞_{2} \land 𝐞_{3}) + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) (𝐞_{3} \land 𝐞_{1}),

a on (i₁ ∧ i₂, i₂ ∧ i₃, i₃ ∧ i₁) és una base per a l'espai tridimensional Λ² (R³). Els coeficients anteriors són els mateixos que els de la definició habitual del producte vectorial de vectores en tres dimensions en una orientació donada, sent l'única diferència que el producte exterior no és un vector ordinari, sino un 2-vector, i que el producte exterior no depén de l'elecció de l'orientació.

Afegint un tercer vector

𝐰 = w_{1} 𝐞_{1} + w_{2} 𝐞_{2} + w_{3} 𝐞_{3},

el producte exterior de tres vectores és

𝐮 \land 𝐯 \land 𝐰 = (u_{1} v_{2} w_{3} + u_{2} v_{3} w_{1} + u_{3} v_{1} w_{2} - u_{1} v_{3} w_{2} - u_{2} v_{1} w_{3} - u_{3} v_{2} w_{1}) (𝐞_{1} \land 𝐞_{2} \land 𝐞_{3})

a on i₁ ∧ i₂ ∧ i₃ és el vector base per a l'espai unidimensional Λ³ (R³). El coeficient escalar és el producte mixt dels tres vectores.

El producte creuat i el producte triple en un espai vectorial euclídeo tridimensional admeten cada u interpretacions geomètriques i algebraiques. El producte creuat o × v es pot interpretar com un vector que és perpendicular tant a o com a v i la magnitut de la qual és igual a l'àrea del paralelogramo determinada pels dos vectores. També es pot interpretar com el vector format pel menor de la matriu en les columnes o i v. El producte triple de o, v i w és un escalar en signe que representa un volum en orientació geomètrica. Algebraicament, és el determinant de la matriu en columnes o, v i w. El producte exterior en tres dimensions permet interpretacions similars: també es pot identificar en llongituts orientades, àrees, volums, etc., que estan travessats per un, dos o més vectores. El producte exterior generalisa estes nocions geomètriques a tots els espais vectorials i a qualsevol número de dimensions, inclús en absència d'un producte escalar.

Definicions formals i propietats algebraiques

L'àlgebra exterior $Λ(V)$ d'un espai vectorial $V$ sobre un cos $K$ es definix com l'àlgebra cocient del àlgebra tensorial $T (V)$ pel ideal $I$ generat per tots els elements de la forma $x \otimes x$ per a $x \in V$ (és dir, tots els tensors que es poden expressar com el producte tensorial d'un vector en $V$ per sí mateixa).^[5] L'ideal I conté l'ideal J generat per elements de la forma $x \otimes y + y \otimes x = (x + y) \otimes (x + y) - x \otimes x - y \otimes y$ i estos ideals coincidixen si (i solament si) $char (K) \neq 2$ , a on $char (K)$ denota la característica del cos $K$ .

Es definix

⋀ (V) = T (V) / I

El producte exterior $\land$ de dos elements de $Λ(V)$ és el producte induït pel producte tensorial $\otimes$ de $T (V)$ . És dir, si

π : T (V) \to ⋀ (V) = T (V) / I

és la suprayección canònica, i $a$ i $b$ estan en $Λ(V)$ , llavors hi ha $α$ i $β$ en $T (V)$ de modo que $a = π (α)$ i $b = π (β),$ i

a \land b = π (α \otimes β) .

De la definició d'un àlgebra cocient resulta que el valor de $a \land b$ no depén d'una elecció particular de $α$ i $β$ .

Com $T 0 = K$ , $T 1 = V$ i $(T^{0} (V) \oplus T^{1} (V)) \cap I = {0}$ , les inclusions de $K$ i $V$ en $T (V)$ induïxen injeccions de $K$ i $V$ en $Λ(V)$ . Estes injeccions es consideren comunament com a inclusions i es denominen incrustaciones naturals, injeccions naturals o inclusions naturals. La paraula canònic també s'usa comunament en lloc de natural.

Producte altern

El producte exterior és per construcció altern sobre elements de $V$ , lo que significa que $x \land x = 0$ para tot $x \in V$ , per la construcció anterior. D'això es deduïx que el producte també és anticonmutativo en elements de $V$ , per supondre que $x, y \in V$ ,

0 = (x + y) \land (x + y) = x \land x + x \land y + y \land x + y \land y = x \land y + y \land x

i per lo tant

x \land y = - (y \land x) .

De manera més general, si σ és una permutació dels sancers [1, ..., k], i x₁, x₂, ..., x_k elements de V, resulta que

x_{σ (1)} \land x_{σ (2)} \land \dots \land x_{σ (k)} = sgn (σ) x_{1} \land x_{2} \land \dots \land x_{k},

a on sgn(σ) és la signatura de la permutació σ.^[6]

En particular, si x_i = x_j per a alguns i ≠ j, llavors la següent generalisació de la propietat alterna també és vàlida:

x_{1} \land x_{2} \land \dots \land x_{k} = 0.

Potenciació exterior

La k-ésima potència exterior de V, denotada com Λ^k(V), és el subespacio vectorial de Λ(V) comprés per elements de la forma

x_{1} \land x_{2} \land \dots \land x_{k}, x_{i} \in V, i = 1, 2, \dots, k .

Si α ∈ Λ^k(V), llavors α es diu que és un k-vector. Si, ademés, α es pot expressar com un producte exterior de k elements de V, llavors es diu que α és descomponible. Encara que els k vectores descomponibles comprenen Λ^k(V), no tots els elements de Λ^k(V) són descomponibles. Per eixemple, en R⁴, el següent 2-vector no és descomponible:

α = e_{1} \land e_{2} + e_{3} \land e_{4} .

(est és un espai vectorial simpléctico, des de α ∧ α ≠ 0.^[7])

Base i dimensió

Si la dimensió de $V$ és $n$ i ${i 1, ..., i n}$ és una base para $V$ , llavors el conjunt

{e_{i_{1}} \land e_{i_{2}} \land \dots \land e_{i_{k}} | k = 1, 2, \dots n y 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n}

és una base per a $Λ k (V)$ . El motiu és el següent: donat qualsevol producte exterior de la forma

v_{1} \land \dots \land v_{k},

cada vector $v j$ pot escriure's com una combinació llineal dels vectores de la base $i i$ ; usant la bilinealidad del producte exterior, açò pot expandir-se a una combinació llineal de productes exteriors d'eixos vectores de la base. Qualsevol producte exterior en el que aparega el mateix vector base més d'una volta és zero; qualsevol producte exterior en el que els vectores base no apareguen en l'orde correcte es pot reordenar, canviant el signe sempre que dos vectores base canvien de lloc. En general, els coeficients resultants dels $k$ vectores d'una base es poden calcular com els menors de la matriu que descriu els vectores $v j$ en térmens de la base $i i$ .

Contant els elements de la base, la dimensió de $Λ k (V)$ és igual al coeficient binomial:

\dim ⋀^{k} (V) = (\binom{n}{k}) .

a on $n$ és la dimensió de l'espai vectorial $V$ i $k$ és el número de vectores en el producte. El coeficient binomial produïx el resultat correcte, inclús en casos excepcionals; en particular, $Λ k (V) = { 0 }$ per a $k > n$ .

Qualsevol element de l'àlgebra exterior es pot escriure com una suma de $k$ -vectores. Per tant, com a espai vectorial, l'àlgebra exterior és una suma directa

⋀ (V) = ⋀^{0} (V) \oplus ⋀^{1} (V) \oplus ⋀^{2} (V) \oplus \dots \oplus ⋀^{n} (V)

(a on per convenció $Λ 0 (V) = K$ , cos subjacent a $V$ i $Λ 1 (V) = V$ ), i per lo tant la seua dimensió és igual a la suma dels coeficients binomiales, que és 2^$n$.

Ranc d'un k-vector

Si α ∈ Λ^k(V), llavors és possible expressar α com una combinació llineal de k-vectores descomponibles:

α = α^{(1)} + α^{(2)} + \dots + α^{(s)}

a on cada α⁽ⁱ⁾ és descomponible, en

α^{(i)} = α_{1}^{(i)} \land \dots \land α_{k}^{(i)}, i = 1, 2, \dots, s .

El ranc del k-vector α és el número mínim de k-vectores descomponibles en tal expansió de α. Açò és similar a la noció de ranc d'un tensor.

El ranc és particularment important en l'estudi de 2-vectores Plantilla:Harv Plantilla:Harv. El ranc d'un 2-vector α pot identificar-se en la mitat del ranc de la matriu dels coeficients de α en una base. Per lo tant, si i_i és una base per a V, llavors α es pot expressar únicament com

α = \sum_{i, j} a_{i j} e_{i} \land e_{j}

a on a_ij = −a_ji (la matriu de coeficients és antisimètrica). El ranc de la matriu a_ij és per tant parell, i és el doble del ranc de la forma α.

En la característica 0, el 2-vector α té ranc p si i solament si

\underset{p}{\underset{⏟}{α \land \dots \land α}} \neq 0

i

\underset{p + 1}{\underset{⏟}{α \land \dots \land α}} = 0.

Estructura graduada

El producte exterior d'un k-vector en un p- vector és un (k + p)-vector, que novament invoca la bilinealidad. Com a conseqüència, la descomposició d'una suma directa de la secció anterior

⋀ (V) = ⋀^{0} (V) \oplus ⋀^{1} (V) \oplus ⋀^{2} (V) \oplus \dots \oplus ⋀^{n} (V)

li dona a l'àlgebra exterior l'estructura adicional d'un àlgebra graduada, és dir

⋀^{k} (V) \land ⋀^{p} (V) \subset ⋀^{k + p} (V) .

Ademés, si $K$ és la base del cos, llavors

⋀^{0} (V) = K

i

⋀^{1} (V) = V .

El producte exterior es classifica com anticomutativo, lo que significa que si α ∈ Λ^k(V) i β ∈ Λ^p(V), llavors

α \land β = (- 1)^{k p} β \land α .

Ademés d'estudiar l'estructura graduada en l'àlgebra exterior,Bourbaki (1989) estudia estructures graduades adicionals en àlgebra exteriors, com les de l'àlgebra exterior d'un àlgebra graduada (un mòdul que ya té la seua pròpia graduació).

Propietat universal

Siga $V$ un espai vectorial sobre el cos $K$ . De manera informal, la multiplicació en $Λ(V)$ es realisa manipulant símbols i imponent una distributividad, una asociatividad i utilisant l'identitat $v \land v = 0$ per a $v \in V$ . Formalment, $Λ(V)$ és l'àlgebra "més general" en la que estes regles són vàlides per a la multiplicació, en el sentit de que qualsevol $K$ -àlgebra associativa unitària que continga $V$ en multiplicació alterna en $V$ deu contindre una image homomórfica de $Λ(V)$ . En atres paraules, l'àlgebra exterior té la següent propietat universal:^[8]

Donada qualsevol $K$ -àlgebra associativa unitària $A$ i qualsevol $K$ -aplicació llineal $j : V \to A$ tal que $j (v) j (v) = 0$ per a cada $v$ en $V$ , llavors existix precisament un homomorfisme de àlgebra unitàries $f : Λ(V) \to A$ tal que $j (v) = f (i (v))$ para tot $v$ en $V$ (ací $i$ és l'inclusió natural de $V$ en $Λ(V)$ , vore dalt).

Propietat universal de l'àlgebra exterior

Per a construir l'àlgebra més general que conté $V$ i la multiplicació de la qual s'alterna en $V$ , és natural començar en l'àlgebra associativa més general que conté $V$ , l'àlgebra tensorial $T (V)$ , i després fer complir la propietat alterna prenent un cocient adequat. Per lo tant, es pren l'ideal (a abdós costats) $I$ en $T (V)$ generat per tots els elements de la forma $v \otimes v$ per a $v$ en $V$ , i es definix $Λ(V)$ com el cocient

⋀ (V) = T (V) / I

(i s'usa $\land$ com el símbol per a la multiplicació en $Λ(V))$ . Llavors és senzill demostrar que $Λ(V)$ conté $V$ i satisfà la propietat universal anterior.

Com a conseqüència d'esta construcció, l'operació d'assignar a un espai vectorial $V$ la seua àlgebra exterior $Λ(V)$ és un funtor des de la categoria dels espais vectorials a la categoria de les àlgebra.

En lloc de definir primer $Λ(V)$ i després identificar les potències exteriors $Λ k (V)$ com certs subespacios, es pot alternativament definir primer els espais $Λ k (V)$ i després combinar-los per a formar l'àlgebra $Λ(V)$ . Este enfocament s'utilisa a sovint en geometria diferencial i es descriu en la següent secció.

Generalisacions

Donat un anell conmutativo R i un R-mòdul M, es pot definir l'àlgebra exterior Λ(M) tal com es va indicar anteriorment, com un cocient adequat de l'àlgebra tensorial T(M). Satisfà la propietat universal anàloga. Moltes de les propietats de Λ(M) també requerixen que M siga un mòdul proyectivo. Quan s'usa la dimensionalidad finita, les propietats requerixen ademés que M siga generat finitamente i proyectivo. Les generalisacions a les situacions més comunes es poden trobar en Bourbaki (1989).

Les àlgebra exteriors de fibrado vectorial es consideren en freqüència en geometria i topología. No existixen diferències essencials entre les propietats algebraiques de l'àlgebra exterior de paquets vectorials de dimensió finita i les de l'àlgebra exterior de mòduls proyectivos generats finitament, segons el teorema de Serre–Swan. Es poden definir àlgebra exteriors més generals para fas de mòduls.

Vore també

Àlgebra de Clifford, una generalisació de l'àlgebra exterior usant una forma quadràtica distinta de zero

Referències

↑ Estrictament parlant, la magnitut depén d'alguna estructura adicional, és dir, de que els vectores estiguen en un espai euclídeo. En general, no s'assumix que esta estructura siga necessària, llevat quan siga útil per a desenrollar l'intuïció sobre el tema.
↑ Plantilla:Harvcoltxt les va introduir com a àlgebra "esteses" (cf.Clifford 1878) va usar la paraula äußere (traduïda lliteralment com a exterior) solament per a indicar el produkt que va definir, que hui en dia es diu convencionalment producte exterior, provablement per a distinguir-ho del producte extern com es definix en àlgebra llineal moderna.
↑ El terme k-vector no és equivalent ni deu confondre's en térmens similars com cuadrivector, que en un context diferent podria significar un vector de 4 dimensions. Una minoria d'autors utilisa el terme k-multivector en lloc de k-vector, lo que evita esta confusió.
↑ Esta axiomatisació d'àrees es deu a Leopold Kronecker i Karl Weierstraß; vore Bourbaki (1989b, Historical Note). Per a un tractament modern, consulte's Mac Lane y Birkhoff (1999, Theorem IX.2.2). Per a un tractament elemental, consulte's Strang (1993, Chapter 5).
↑ Mac Lane y Birkhoff (1999)
↑ Una prova d'esta afirmació es pot trobar en més generalitat en Bourbaki (1989).
↑ Vore Sternberg (1964, §III.6).
↑ Consulte's Bourbaki (1989, §III.7.1) i Mac Lane y Birkhoff (1999, Theorem XVI.6.8). Es poden trobar més detalls sobre les propietats universals en general en Mac Lane y Birkhoff (1999, Chapter VI) i en totes les obres de Bourbaki.

Bibliografia

Texts matemàtics

(1980).«Tensor analysis on manifolds».Dover.

Inclou un tractament de tensors alterns i formes alternes, aixina com una discussió detallada de la dualitat de Hodge des de la perspectiva adoptada en este artícul.

arXiv:0509178.

1–116. (Text en espanyol)

(1989).«Elements of mathematics, Algebra I».Springer-Verlag.

Esta és la "principal referència matemàtica" de l'artícul. Introduïx l'àlgebra exterior d'un mòdul sobre un anell conmutativo (encara que este artícul s'especialisa principalment en el cas en el que l'anell és un camp), inclosa una discussió de la propietat universal, la funcionalitat, la dualitat i l'estructura bialgebraica. Consulte §III.7 i §III.11.

(1991).«Exterior differential systems».Springer-Verlag.

Este llibre conté aplicacions de àlgebra exteriors a problemes en equació en derivades parcials. El ranc i els conceptes relacionats es desenrollen en els primers capítuls.

(1999).«Algebra».AMS Chelsea.

Les seccions 6 a 10 del capítul XVI donen una descripció més elemental de l'àlgebra exterior, inclosa la dualitat, els determinants i menors, i les formes alternes.

(1964).«Lectures on Differential Geometry».Prentice Hall.

Conté un tractament clàssic de l'àlgebra exterior com a tensors alterns i aplicacions a la geometria diferencial.

Texts històrics

Plantilla:Harv Nota històrica en els capítuls II i III
(1878).«Applications of Grassmann's Extensive Algebra».American Journal of Mathematics.The Johns Hopkins University Press.1(4)

350–358.doi:10.2307/2369379.

(1941).«The Calculus of Extension».Cambridge University Press.
(1844).«Die Lineale Ausdehnungslehre – Ein neuer Zweig der Mathematik». (La teoria de l'extensió llineal: una nova branca de les matemàtiques) referència alternativa
(2000).«Extension Theory (translation of Grassmann's Ausdehnungslehre)».American Mathematical Society.

(1888).«Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre vaig donar H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva».; (1999).«Geometric calculus: According to the Ausdehnungslehre of H. Grassmann».Birkhäuser..
(1898).«A Treatise on Universal Algebra, with Applications».Cambridge.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Producto exterior» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Estrictament parlant, la magnitut depén d'alguna estructura adicional, és dir, de que els vectores estiguen en un espai euclídeo. En general, no s'assumix que esta estructura siga necessària, llevat quan siga útil per a desenrollar l'intuïció sobre el tema.

[2] Plantilla:Harvcoltxt les va introduir com a àlgebra "esteses" (cf.Clifford 1878) va usar la paraula äußere (traduïda lliteralment com a exterior) solament per a indicar el produkt que va definir, que hui en dia es diu convencionalment producte exterior, provablement per a distinguir-ho del producte extern com es definix en àlgebra llineal moderna.

[3] El terme k-vector no és equivalent ni deu confondre's en térmens similars com cuadrivector, que en un context diferent podria significar un vector de 4 dimensions. Una minoria d'autors utilisa el terme k-multivector en lloc de k-vector, lo que evita esta confusió.

[4] Esta axiomatisació d'àrees es deu a Leopold Kronecker i Karl Weierstraß; vore Bourbaki (1989b, Historical Note). Per a un tractament modern, consulte's Mac Lane y Birkhoff (1999, Theorem IX.2.2). Per a un tractament elemental, consulte's Strang (1993, Chapter 5).

[5] Mac Lane y Birkhoff (1999)

[6] Una prova d'esta afirmació es pot trobar en més generalitat en Bourbaki (1989).

[7] Vore Sternberg (1964, §III.6).

[8] Consulte's Bourbaki (1989, §III.7.1) i Mac Lane y Birkhoff (1999, Theorem XVI.6.8). Es poden trobar més detalls sobre les propietats universals en general en Mac Lane y Birkhoff (1999, Chapter VI) i en totes les obres de Bourbaki.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]