Menor (àlgebra llineal)

Càlcul d'un determinant d'orde 3 per mig de la regla de Laplace. Per a això s'utilisen alguns menors de la matriu.

En àlgebra llineal, un menor o menor complementari d'una matriu $A$ és el determinant d'alguna submatriz, obtingut de $A$ per mig de l'eliminació d'una o més de les seues files o columnes. Els menors obtinguts per l'eliminació d'únicament una fila i una columna de matrius quadrades es diuen primers menors i es necessiten per a trobar la matriu de cofactores, la qual és útil per a calcular el determinant i l'inversa de matrius quadrades.

Definició

Siga $A$ una matriu de $m\times n$ i $k$ un sancer en $0<k\le \min \{m,n\}$, un menor d'orde $k\times k$ de $A$ és el determinant d'una matriu $k\times k$ obtinguda de $A$ per mig de l'eliminació de $m-k$ files i $n-k$ columnes.

ya que hi ha:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})$ (llegit com "m combinacions de k")

maneres de triar $k$ files de $m$ files, i hi ha

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

maneres de triar $k$ columnes de $n$ columnes, hi ha en total

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

menors de tamany $k\times k$.

Notació

El menor $(i,j)$ (a sovint denotat com $M_{ij}$) d'una matriu quadrada $A$ de $n\times n$, és definit com el determinant de la matriu $(n-1)\times (n-1)$ formada per mig de l'eliminació de la $i$-ésima fila i la $j$-ésima columna de $A$. Un menor $(i,j)$ pot ser referit també com $(i,j)$-ésimo menor, o simplement menor $ij$ .

$M_{ij}$ pot trobar-se també eliminant els índexs corresponents a l'element a_ij de la matriu $A$, en el cas de la qual diem que $M_{ij}$ és el menor de $a_{ij}$

Un menor format per l'eliminació d'una única fila i una única columna d'una matriu quadrada $A$ (tal com $M_{ij}$) és cridat primer menor. Quan dos files i dos columnes són eliminada, se li crida segon menor.

Vore també

• Determinant (matemàtica)
• Matriu d'adjunts
• Matriu trasponer conjugada