Submatriz

En matemàtiques, una submatriz és una matriu formada per la selecció de certes files i columnes d'una matriu més gran. També podem definir-la com un apany rectangular que es troba en subconjunts específics de les files i columnes de la matriu donada.

Definició

Siga $A$ una matriu $n\times m$ i siguen $I_A=\{1,2,\mathrm{...},n\}$ i $J_A=\{1,2,\mathrm{...},m\}$ els conjunts d'índexs de les files i columnes de $A$ respectivament. Definim $B$ una submatriz de $A$ com la matriu resultant de triar $I_B\subseteq I_A$ i $J_B\subseteq J_A$, a on $I_B$ i $J_B$ seran els índexs de les files i columnes de la matriu $B$. És dir, les files i columnes de $B$ corresponen a les files i columnes de $A$ en els índexs en $I_B$ i $J_B$ respectivament.

Per eixemple:

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]$

En este cas $I_A=\{1,2,3\}$ i $J_A=\{1,2,3,4\}$, si triem $I_B=\{1,2\}$ i $J_B=\{1,3,4\}$ obtenim:

$𝐁=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{23}& a_{24}\end{array}\right]$

En este eixemple si volem referir-nos a la submatriz $B$ sense necessitat de definir-la entrada per entrada, usem la següent notació, $B=A[\{1,2\};\{1,3,4\}]$. De manera general diem que $A[I_B;J_B]$ és la submatriz resultant de triar $I_B$ i $J_B$ com a conjunt d'índexs de les files i columnes de la submatriz.

Submatriz principal

Una submatriz és principal quan es tria $I_B=J_B$, és dir els conjunts d'índexs de les files i columnes són iguals. Per a facilitar la notació s'escriu $A[I_B;I_B]=A[I_B]$.

Per eixemple:

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]$

Prenent $I_B=\{2,3\}$.

$𝐀[\{2,3\}]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$

$A[\{2,3\}]$ és una submatriz principal de $A$.

Submatriz principal superior

Siga $A$ una matriu quadrada d'orde $n$ i $I_A=\{1,\dots ,n\}$ el conjunt d'índexs de $A$, si prenem $k\in I_A$, la matriu principal $A[\{1,\dots ,k\}]$ és una submatriz principal superior de $A$.

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right]$

Prenent $k=3$:

$𝐀[\{1,2,3\}]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$

$A[\{1,2,3\}]$ és una submatriz principal superior de $A$.

Submatriz principal inferior

Siga $A$ una matriu quadrada d'orde $n$ i $I_A=\{1,\dots ,n\}$ el conjunt d'índexs de $A$, si prenem $k\in I_A$ , diem que la matriu principal $A[\{k,\dots ,n\}]$ és una submatriz principal inferior de $A$.

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right]$

Prenent $k=2$:

$𝐀[\{2,3,4\}]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right]$

$A[\{2,3,4\}]$ és una submatriz principal inferior de $A$.

Vore també

• Menors principals