Matriu d'adjunts

En la terminologia matemàtica moderna, es denomina matriu adjunta a la matriu conjugada trasponer.

Donada una matriu quadrada A, la seua matriu d'adjunts o matriu de cofactores cof(A) és la resultant de substituir cada terme a_ij de per el cofactor a_ij de A. El terme matriu adjunta o matriu adjugada adj(A) sol crear confusió, ya que en molts tractats clàssics sobre àlgebra llineal correspon a la matriu de cofactores trasponer, no obstant, en atres texts, es correspon a la matriu de cofactores, ya que criden de la mateixa manera adjunt al cofactor i d'ahí que siga adjunta. A banda, també s'utilisa el símbol adj( ) indistintament a cof( ) per al càlcul en els elements d'una matriu, fent, aixina cada volta, la confusió més àmplia.

L'interés principal de la matriu adjunta o adjugada és que permet calcular l'inversa d'una matriu, ya que es complix la relació:

a on adj(A) correspon a la matriu de cofactores trasponer, o siga,

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=\mathrm{cof}(𝐀{)}^T={𝐂}^T$.

No obstant, per a matrius de dimensions grans, este tipo de càlcul resulta més costós, en térmens d'operacions, que atres métodos com el método d'eliminació de Gauss.

Definició i fòrmules de càlcul

Donada una matriu $𝐀$ la seua matriu d'adjunts és l'única matriu $𝐁$ tal que:

Esta definició no permet calcular directament la matriu d'adjunts (o cofactores) per lo que comunament es definix també la matriu d'adjunts per mig de la següent fòrmula explícita. Donades les components explícites de la matriu: $(a_{ij})=𝐀\in M_{n\times n}$ per a cada i i j es definix la matriu $\widetilde{𝐀}(i,j)$ com la matriu d'orde $(n-1)$ obtinguda a partir de $𝐀$ eliminant la fila i-ésima i la columna j-ésima. I es definix la cantitat:

I es té que estes són precisament les components de la matriu d'adjunts (o cofactores), és dir, $\text{cof}(𝐀)=(d_{ij})$

Matrius 2 x 2

Donada una matriu de 2 x 2:

La seua matriu adjunta ve donada per:

a on C és la matriu de cofactores.

Matrius 3 x 3

Donada una matriu de 3 x 3:

La seua matriu de cofactores ve donada per:

i per lo tant la trasponer de la matriu de cofactores és la matriu adjunta:

Per a matrius de 3x3 també pot usar-se la següent fòrmula:

Eixemple

Un eixemple seria el següent:

$\mathrm{adj}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& -1& 1\\ 0& 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -2& -2\\ 2& -4& -3\end{array}\right)$

Matrius n x n

Per a matrius en n gran, el cost computacional del càlcul d'adjunts és gran, per lo que si l'objectiu és calcular l'inversa d'una matriu, es recorre a atres algoritmes de càlcul que no impliquen calcular primer la matriu d'adjunts. Per al càlcul de la matriu d'adjunts en el cas general, pot amprar-se la següent fòrmula:

Propietats

Donada una matriu $𝐀=(a_{ij})\in M_{n\times n}$ definint $𝐁=(b_{ij})=\text{adj}(A)$ pot provar-se que les $b_{ij}$ poden escriure's com sumixca de monomis de grau n en les components $a_{ij}$. Això fa que a mida que n aumenta el càlcul de la matriu adjunta per aplicació de fòrmules directes siga complicat, aplegant a ser computacionalment molt costós.

Si considerem l'operació de buscar la matriu adjunta com una funció: $\text{adj}:M_{n\times n}{\to }_{n\times n}$ resulta que eixa funció és contínua. Açò pot vore's a partir de la continuïtat de la funció determinant. Ademés es tenen atres propietats interessants:

• $\text{adj}({𝐀}^T)=\text{adj}(𝐀{)}^T$
• $\text{adj}(𝐀𝐁)=\text{adj}(𝐁)\text{adj}(𝐀)$
• $\text{adj}(𝐈)=𝐈$
• $𝐀\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}({𝐀}^T)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀){𝐀}^T=\det (𝐀)𝐈$ per a $𝐀\in M_{n\times n}$.
• $\text{adj}(\lambda 𝐀)={\lambda }^{n-1}\text{adj}(𝐀)$ per a $𝐀\in M_{n\times n}$.
• $\text{adj}(\text{adj}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-2}𝐀$ per a $𝐀\in M_{n\times n}$.
• $\det (𝐀)=\text{tr}(𝐀\text{adj}(𝐀))/n$ per a $𝐀\in M_{n\times n}$.
• $\det (\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-1}$.

Si p(t) = det(A − tI) és el polinomi característic de A i definim el polinimio q(t) = (p(0) − p(t))/t, llavors:

A on $p_j$ són els coeficients de p(t):

La funció adjunta també apareix en la fòrmula de la derivada del determinant:

Vore també

• Matriu inversa