Multivector

En àlgebra multilineal, un multivector, a voltes també denominat número de Clifford o multor,^[1] és un element del àlgebra exterior $Λ(V)$ ) d'un espai vectorial $V$ . Esta àlgebra és graduada, associativa i alterna, i consistix en combinacions llineals de $k$ -vectores simples^[2] (també coneguts com $k$ -vectores descomponibles^[3] o $k$ -cuchilles) de la forma

v_{1} \land \dots \land v_{k}

a on $v_{1}, \dots, v_{k}$ pertanyen a $V$ .

Un $k$ -vector és una combinació llineal que és homogénea de grau $k$ (tots els térmens són $k$ -cuchilles en el mateix $k$ ). Depenent dels autors, un multivector també pot ser un $k$ -vector o qualsevol element de l'àlgebra exterior (qualsevol combinació llineal de $k$ -cuchilles en valors potencialment diferents de $k$ ).^[4]

En geometria diferencial, un $k$ -vector és un vector en l'àlgebra exterior del espai vectorial tangente; és dir, és un tensor antisimètric obtingut prenent combinacions llineals del producte exterior de $k$ vectores tangentes, per a algun número entero $k \geq 0$ . Una $k$ -forma diferencial és un $k$ -vector en l'àlgebra exterior del dual de l'espai tangente, que també és dual de l'àlgebra exterior de l'espai tangente.

Per a $k = 0, 1, 2$ i $3$ , els $k$ -vectores a sovint es denominen respectivament escalares, vectorés, bivectorés i trivectores; que són respectivament duals a 0-formes, 1-formes, 2-formes i 3-formes.^[5]^[6]

Producte exterior

Artícul principal → producte exterior.

El producte exterior (també cridat producte cunya, pel símbol Λ) utilisat per a construir multivectores és multilineal (llineal en cada entrada), associatiu i altern. Açò significa que per als vectores o, v i w en un espai vectorial V i para els escalares $α y β$ , el producte exterior té les propietats següents:

Llineal en una entrada: $𝐮 \land (α 𝐯 + β 𝐰) = α 𝐮 \land 𝐯 + β 𝐮 \land 𝐰;$
Associatiu: $(𝐮 \land 𝐯) \land 𝐰 = 𝐮 \land (𝐯 \land 𝐰);$
Altern: $𝐮 \land 𝐮 = 0.$

El producte exterior de k-vectores o una suma de dits productes (per a un sol k) es denomina multivector de grau k, o k-vector. El grau màxim d'un multivector és la dimensió de l'espai vectorial V.

La linealidad en qualsevol de les entrades junt en la propietat alterna implica la linealidad en l'atra entrada. La multilinealidad del producte exterior permet expressar un multivector com una combinació llineal de productes exteriors de vectores base de V. El producte exterior de k vectores base de V és la forma estàndar de construir cada element base per a l'espai de k-vectores, que té dimensió [[Coeficient binomial|(Plantilla:La seua)]] en l'àlgebra exterior d'un espai vectorial de n dimensions.^[2]

Àrea i volum

El k-vector obtingut del producte exterior de k vectores separats en un espai n-dimensional té components que definixen els (k − 1)-volums proyectats dels k-paralelotopos compresos pels vectores. La raïl quadrada de la suma dels quadrats d'estos components definix el volum del k-paralelotopo.^[2]^[7]

Els següents eixemples mostren que un bivector en dos dimensions medix l'àrea d'un paralelogramo i la magnitut d'un bivector en tres dimensions també medix l'àrea d'un paralelogramo. De manera similar, un trivector en tres dimensions medix el volum d'un paralelepípede.

És fàcil comprovar que la magnitut d'un trivector en quatre dimensions medix el volum del paralelepípede comprés per estos vectores.

Multivectores en R²

Les propietats dels multivectores es poden vore considerant l'espai vectorial bidimensional V= R². Siguen els vectores base i₁ i i₂, per lo que o i v estan donats per

𝐮 = u_{1} 𝐞_{1} + u_{2} 𝐞_{2}, 𝐯 = v_{1} 𝐞_{1} + v_{2} 𝐞_{2},

i el multivector o ∧ v, també cridat bivector, es calcula com:

𝐮 \land 𝐯 = | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix} | (𝐞_{1} \land 𝐞_{2}) .

Les barres verticals indiquen el determinant de la matriu, que és l'àrea del paralelogramo comprés pels vectores o i v. La magnitut de o ∧ v és l'àrea d'este paralelogramo. Observe's que degut a que V té dimensió dos, el bivector base i₁ ∧ i₂ és l'únic multivector en ΛV.

La relació entre la magnitut d'un multivector i l'àrea o volum comprés pels vectores és una característica important en totes les dimensions. Ademés, la versió funcional llineal d'un multivector que calcula este volum es coneix com a forma diferencial.

Multivectores en R³

Es poden vore més característiques dels multivectores considerant l'espai vectorial tridimensional V= R³. En este cas, siguen els vectores d'una base i₁, i₂ i i₃, per lo que o, v i w estan donats per

\begin{matrix} 𝐮 & = u_{1} 𝐞_{1} + u_{2} 𝐞_{2} + u_{3} 𝐞_{3}, & 𝐯 & = v_{1} 𝐞_{1} + v_{2} 𝐞_{2} + v_{3} 𝐞_{3}, & 𝐰 & = w_{1} 𝐞_{1} + w_{2} 𝐞_{2} + w_{3} 𝐞_{3}, \end{matrix}

i el bivector o ∧ v es calcula com

𝐮 \land 𝐯 = | \begin{matrix} u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{matrix} | (𝐞_{2} \land 𝐞_{3}) + | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{3} & v_{3} \end{matrix} | (𝐞_{1} \land 𝐞_{3}) + | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix} | (𝐞_{1} \land 𝐞_{2}) .

Els components d'este bivector són els mateixos que els components del producte vectorial. La magnitut d'este bivector és la raïl quadrada de la suma dels quadrats dels seus components.

Açò mostra que la magnitut del bivector o ∧ v és l'àrea del paralelogramo compresa pels vectores o i v tal com es troba en l'espai tridimensional V. Els components del bivector són les àrees proyectades del paralelogramo en cada u dels tres plans de coordenades.

Observe's que degut a que V té dimensió tres, hi ha una base de trivectores en ΛV. El trivector es calcula de la forma següent:

𝐮 \land 𝐯 \land 𝐰 = | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{matrix} | (𝐞_{1} \land 𝐞_{2} \land 𝐞_{3}) .

Açò demostra que la magnitut del trivector o ∧ v ∧ w és el volum del paralelepípede comprés pels tres vectores o, v i w.

En espais de dimensions superiors, els trivectores components són proyeccions del volum d'un paralelepípede sobre els 3-espais coordenados, i la magnitut del trivector és el volum del paralelepípede tal com s'assenta en l'espai de dimensions superiors.

Vore també

Referències

↑ John Snygg (2012), A New Approach to Differential Geometry Using Clifford’s Geometric Algebra, Birkhäuser, p. 5 §2.12
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Harley Flanders (1989)[1963] Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, § 2.1 The Space of p-Vectors, pages 5–7, Dover Publications
↑ Wendell Fleming (1977) [1965] Functions of Several Variables, section 7.5 Multivectors, page 295, ISBN 978-1-4684-9461-7
↑ Élie Cartan, The theory of spinors, p. 16, considers only homogeneous vectors, particularly simple ones, referring to them as "multivectors" (collectively) or p-vectors (specifically).
↑ William M Pezzaglia Jr. (1992). «Clifford algebra derivation of the characteristic hypersurfaces of Maxwell's equations», Julian Ławrynowicz (ed.). Deformations of mathematical structures II, Springer, p. 131 ff. ISBN 0-7923-2576-1. «Hence in 3D we associate the alternate terms of pseudovector for bivector, and pseudoscalar for the trivector»
↑ Baylis (1994). Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V, Birkhäuser, p. 234, see footnote. ISBN 0-8176-3715-X.
↑ G. E. Shilov, Linear Algebra, (trans. R. A. Silverman), Dover Publications, 1977.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Multivector» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] John Snygg (2012), A New Approach to Differential Geometry Using Clifford’s Geometric Algebra, Birkhäuser, p. 5 §2.12

[Flanders-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Harley Flanders (1989)[1963] Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, § 2.1 The Space of p-Vectors, pages 5–7, Dover Publications

[3] Wendell Fleming (1977) [1965] Functions of Several Variables, section 7.5 Multivectors, page 295, ISBN 978-1-4684-9461-7

[4] Élie Cartan, The theory of spinors, p. 16, considers only homogeneous vectors, particularly simple ones, referring to them as "multivectors" (collectively) or p-vectors (specifically).

[Ławrynowicz-5] William M Pezzaglia Jr. (1992). «Clifford algebra derivation of the characteristic hypersurfaces of Maxwell's equations», Julian Ławrynowicz (ed.). Deformations of mathematical structures II, Springer, p. 131 ff. ISBN 0-7923-2576-1. «Hence in 3D we associate the alternate terms of pseudovector for bivector, and pseudoscalar for the trivector»

[Baylis-6] Baylis (1994). Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V, Birkhäuser, p. 234, see footnote. ISBN 0-8176-3715-X.

[7] G. E. Shilov, Linear Algebra, (trans. R. A. Silverman), Dover Publications, 1977.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Producte exterior

Àrea i volum

Multivectores en R2

Multivectores en R3

Vore també

Referències

Referències

Multivectores en R²

Multivectores en R³