Àlgebra associativa

En matemàtiques, un àlgebra associativa és un mòdul que també permet la multiplicació de vectores de manera distributiva i associativa.

Definició general

Sean $(R,+,\cdot )$ i $(S,+,\cdot )$ dos anells unitaris, i $f:R⟶S$ un homomorfisme entre anells unitaris (és dir, un homomorfisme d'anells de manera que $f(1_R)=1_S$). Definim l'operació externa:

$\begin{array}{cccc}*:& R\times S& ⟶& S\\ & (r,s)& \mapsto & f(r)\cdot s\end{array}$

Esta operació $*$ dota al grup abeliano $(S,+)$ d'estructura de $R$-mòdul per l'esquerra. Esta operació és, ademés, compatible en el producte $\cdot$ de l'anell $S$ en el següent sentit: daus $a,b\in S,,\alpha \in R$, es té que $\alpha *(a\cdot b)=(\alpha *a)\cdot b$.

Cas especial en el que l'anell és un cos

Si tenim un cos $K$, un anell $R$ i un homomorfisme unitari d'anells $f:K⟶R$, tenim llavors que $Kerf=0$, després $f$ és monomorfismo i podem considerar que $K$ és un subanillo de $R$ (per mig del primera teorema de isomorfía, $K$ és isomorfo a un subanillo de $R$). Un àlgebra associativa sobre un cos K, llavors, pot definir-se de manera equivalent com un espai vectorial sobre K junt en una multiplicació K-bilineal A x A -> A (a on l'image de (x, i) s'escriu com xy) tal que la llei associativa valga:

• (x i) z = x (i z) para tot x, i i z en A.

La bilinealidad de la multiplicació es pot expressar com

• (x + i) z = x z + i z; per a tot x, i, z en A,

• x (i + z) = x i + x z; per a tot x, i, z en A,

• a (x i) = (a x) i = x (a i); per a tot x, i en A i a en K.

Si A conté un element identitat, és dir un element 1 tals que 1x = x1 = x per a tot x en A, llavors cridem a A un àlgebra associativa en un o unitària (o unital). Tal àlgebra és un anell i conté una còpia del cos de base K en la forma {a1: a en K}.

La dimensió de l'àlgebra associativa sobre el cos K és la seua dimensió com a espai K-vectorial.

Eixemples

• Les matrius quadrades n-per-n en les entrades del cos K formen un àlgebra associativa unitària sobre K.

• Els número complejo formen un àlgebra associativa unitària de 2 dimensions sobre els número real.

• Els cuaterniones formen un àlgebra associativa unitària 4-dimensional sobre els reals (pero no un àlgebra sobre els número complejo, ya que els número complejo no commuten en els cuaterniones).

• Els polinomis en coeficients reals formen un àlgebra associativa unitària sobre els reals.

• Donat qualsevol espai de Banach X, els operadors llineals continus (AB): X → ABX formen un àlgebra associativa unitària (que usa la composició d'operadors com a multiplicació); açò és de fet un àlgebra de Banach.

• Donat qualsevol espai topològic X, les funcions contínues valorades en els reals (o els complexos) en X formen un àlgebra associativa unitària real (o complexa); ací vàrem sumar i multipliquem les funciones punt a punt.

• Un eixemple d'un àlgebra associativa no unitària ve dau pel conjunt de totes les funciones f: R -> R que el seu llímit quan x s'acosta a infinit és zero.

• Les àlgebra de Clifford són útils en geometria i física.

• Les àlgebra d'incidència de conjunts parcialment ordenats localment finitos són àlgebra associatives unitàries són considerades en combinatòria.