Mòdul (matemàtica)

En matemàtiques, un mòdul és una de les estructures algebraiques fonamentals usades en àlgebra abstracta. Un mòdul sobre un anell és una generalisació de la noció d'espai vectorial sobre un cos, a on els corresponents escalares són els elements un anell (en identitat) arbitrari i a on està definida una multiplicació (a l'esquerra i/o a la dreta) entre elements del anell i elements del mòdul.

De la mateixa manera que un espai vectorial, un mòdul és un grup abeliano aditiu, i la multiplicació escalar és distributiva sobre l'operació de suma entre elements de l'anell o mòdul i és compatible en la multiplicació anular.

Els mòduls estan estretament relacionats en la teoria de representació de grups. Són una de les nocions centrals del àlgebra conmutativa i del àlgebra homológica i s'usen en la geometria algebraica i la topología algebraica.

Introducció i definició

Motivació

En un espai vectorial, el conjunt d'escalares és un cos i actua sobre els vectores per multiplicació escalar, subjecte a certs axioma com la llei distributiva. En un mòdul, els escalares només necessiten ser un anell, per lo que el concepte de mòdul representa una generalisació significativa. En àlgebra conmutativa, tant els ideals com els anells cocients són mòduls, de modo que molts arguments sobre ideals o anells cocients poden combinar-se en un únic argument sobre mòduls. En àlgebra no conmutativa, la distinció entre ideals esquerres, ideals i mòduls es fa més pronunciada, encara que algunes condicions teòriques d'anells poden expressar-se tant sobre ideals esquerres com sobre mòduls esquerres.

Gran part de la teoria de mòduls consistix en estendre tantes propietats desijables dels espais vectorials com siga possible al regne dels mòduls sobre un anell "ben comportat", com un domini d'ideals principals. No obstant, els mòduls poden ser prou més complicats que els espais vectorials; per eixemple, no tots els mòduls tenen una base, i inclús els que la tenen, mòdul lliure, no necessiten tindre un rank únic si l'anell subjacent no satisfà la condició de número de base invariante, a diferència dels espais vectorials, que sempre tenen una base (possiblement infinita) que la seua cardinalidad és llavors única. (Estes dos últimes afirmacions requerixen l'axioma d'elecció en general, pero no en el cas d'espais finito-dimensionals, o certs espais infinit-dimensionals ben comportats com L^ps).

Definició formal

Siga $R$ un anell en identitat i siga $1_R$ la seua identitat multiplicativa. Un $R$-mòdul esquerre $M$ és un grup abeliano $(M,+)$ i una operació $\cdot :R\times M\to M$ tal que per a qualssevol $r,s\in R$, $x,y\in M$, es té

1. $(rs)x=r(sx)$
2. $(r+s)x=rx+sx$
3. $r(x+y)=rx+ry$
4. $1x=x$

Generalment, s'escriu simplement "un $R$-mòdul esquerre $M$" o $R_M$.

Alguns ^{cita requerida} ometen la condició 4 en la definició general de mòduls esquerres, i criden a les estructures definides abans "mòduls esquerres unitales". En este artícul no obstant, tots els mòduls (i tots els anells) es presuponen unitales. Per lo general, per a mòduls, en la majoria dels texts es considera la condició 4, mentres que para anells no se supon que existixca element unitat, excepto que es diga lo contrari.

Un $R$-mòdul dret de $M$ o $M_R$ es definix de forma semblant, només que l'anell actua per la dreta, és dir es té una multiplicació escalar de la forma $M\times R\to M$, i els tres axioma antedichos s'escriuen en els escalares $r$ i $s$ a la dreta de $x$ i $y$.

Si R és conmutativo, llavors els R-mòduls a l'esquerra són lo mateix que R-mòduls a la dreta i es diuen simplement R-mòduls.

Eixemples

• Si K és un cos, llavors els conceptes "K-espai vectorial" i K-mòdul són idèntics.

• Cada grup abeliano M és un mòdul sobre l'anell dels número entero Z si es definix nx = x + x +... + x (n sumants) per a n > 0, 0 x = 0, i (- n) x = - (nx) per a n < 0.

• Si R és qualsevol anell i n un número natural, llavors el producte cartesiano Rⁿ és un mòdul esquerre i dret sobre R si s'utilisen les operacions component a component. El cas n = 0 dona el trivial R-mòdul {0} que consistix solament en l'element identitat (aditiva).

• Si X és una varietat diferenciable, llavors les funcions diferenciables de X als número real formen un anell R. El conjunt de tots els camps vectorials diferenciables definits en X formen un mòdul sobre R, i lo mateix en els camps tensoriales i les formes diferencials en X.

• Les matrius quadrades n-per-n en entrades reals formen un anell R, i l'espai euclidiano R ⁿ és un mòdul esquerre sobre este anell si es definix l'operació de mòdul via la multiplicació de matrius.

• Si R és qualsevol anell i I és qualsevol ideal esquerre en R, llavors I és un mòdul esquerre sobre R. Análogament, per supost, els ideals drets són mòduls drets.

Si M_n(R) és l'anell de n × n matrius sobre un anell R, M és un mòdul M_n(R), i i_i és la matriu n × n en 1 en la (i, i)-entrada (i zeros en atres llocs), llavors i_iM és un R-mòdul, ya que re_im = i_irm' ∈ i_iM. Aixina que M es descompon com la suma directa de R-mòduls, M = i₁M ⊕ ... ⊕ i_nM. A l'inversa, donat un R-mòdul M₀, llavors M₀^⊕n és un M_n(R)-mòdul.

De fet, la categoria de R-mòduls i la categoria de M_n(R)-mòduls són equivalents. El cas especial és que el mòdul M siga simplement R com a mòdul sobre sí mateixa, llavors Rⁿ és un mòdul M_n(R)-.

Si S és un conjunt no buit, M és un mòdul esquerre de R, i M^S és la colecció de totes les funcions f : S → M, llavors com suma i multiplicació escalar en M^S definides puntualment per (f + g)(s) = f(s) + g(s) i (rf)(s) = rf(s), M^S és un mòdul R-esquerre. El cas del mòdul R dret és anàlec. En particular, si R és conmutativo llavors la colecció de homomorfismes de mòduls R h : M → N (vore més alvance) és un mòdul R (i de fet un submòdul de N^M).

Si X és una varietat diferenciable, llavors les funcions planes de X als número real formen un anell C^∞(X). El conjunt de tots els camps vectorials suaus definits en X forma un mòdul sobre C^∞(X), i lo mateixa ocorre en els camps tensoriales i les formes diferencials en X. Més generalment, les seccions de qualsevol fes vectorial formen un mòdul proyectivo sobre C^∞(X), i per teorema de Swan, tot mòdul proyectivo és isomorfo al mòdul de seccions d'algun fes; la categoria de mòduls de C^∞(X) i la categoria de fas vectorials sobre X són equivalents. Si R és un anell qualsevol i I és un ideal esquerre qualsevol de R, llavors I és un mòdul esquerre de R, i análogamente els ideals drets de R són mòduls drets de R. Si R és un anell, podem definir l' anell opost R^op que té el mateix conjunt subjacent i la mateixa operació de suma, pero la multiplicació oposta: si ab = c en R, llavors ba = c en R^op. Qualsevol mòdul esquerre de R M pot vore's llavors com un mòdul dret sobre R^op, i qualsevol mòdul dret sobre R pot considerar-se un mòdul esquerre sobre R^op.

• Els mòduls sobre un àlgebra de Lie són, en àlgebra associativa, mòduls sobre el seu àlgebra universal envolvente.

Si R i S són anells en un homomorfisme d'anells φ : R → S, llavors tot mòdul S M és un mòdul R definint rm = φ(r)m. En particular, el propi S és un mòdul R d'este tipo.

Submòduls i homomorfismes

Suponga que M és un R-mòdul esquerre i N és un subgrup de M. Llavors N és un submòdul (o R-submòdul, per a ser més explícit) si, per a qualsevol n en N i qualsevol r en R, el producte rn està en N (o el nr per a un mòdul dret). Si M i N són R - mòduls, llavors una funció f: M → N és un homomorfisme de R - mòduls si, per a qualsevol m, n en M i r, s en R,

f (rm + sn) = rf(m) + sf(n).

Açò, com qualsevol homomorfisme d'objectes matemàtics, és precisament una funció que preserva l'estructura dels objectes. Un homomorfisme biyectivo de mòduls és un isomorfisme de mòduls, i els dos mòduls es diuen isomorfos. Dos mòduls isomorfos són idèntics per a tots els propòsits pràctics, diferenciant-se solament en la notació per als seus elements.

El núcleu d'un homomorfisme de mòduls f: M → N és el submòdul de M que consistix en tots els elements que són enviats a zero per f. Els teoremes de isomorfía familiars de grups abelianos i d'espais vectorials són també vàlits per a R-mòduls.

Els R-mòduls esquerres, junt en els seus homomorfismes de mòdul, formen una categoria, escrita com _RMod. Esta és una categoria abeliana.

Un homomorfisme biyectivo de mòdul f : M → N} es diu un isomorfisme de mòdul, i els dos mòduls M i N es diuen isomorfos'. Dos mòduls isomorfos són idèntics a tots els efectes pràctics, diferenciant-se únicament en la notació dels seus elements.

El núcleu d'un homomorfisme de mòdul f : M → N és el submòdul de M format per tots els elements que són enviats a zero per f, i l'image de f és el submòdul de N format pels valores f(m) para tots els elements m de M. Els teoremes d'isomorfismes coneguts de grups i espais vectorials també són vàlits per a mòduls R.

Donat un anell R, el conjunt de tots els mòduls esquerres de R junt en els seus homomorfismes de mòdul formen una categoria abeliana, denotada per R-Mod'.

Tipos de mòduls

Algunes propietats destacades en la teoria de mòduls donen nom als següents tipos de mòduls:

• Finitamente generat. Un mòdul M és finitamente generat si existix un número finito d'elements x₁..., x_n en M tals que cada element de M és una combinació llineal d'eixos elements en coeficients de l'anell escalar R.
• Lliure. Un mòdul lliure és un mòdul que té una base lliure, o equivalentement, un que és isomorfo a una suma directa de còpies de l'anell escalar R. Estos són els mòduls que es comporten semblat als espais vectorials.
• Proyectivo. Els mòduls proyectivos són sumants directes de mòduls lliures i compartixen moltes de les seues propietats desijables.
• Inyectivo. Els mòduls inyectivos es definixen dualmente als mòduls proyectivos.
• Simple. Un mòdul simple S és un mòdul que no és {0} els únics submòduls del qual són {0} i S. Els mòduls simples a voltes es diuen irreducibles.
• Indescomponible. Un mòdul indescomponible és un mòdul diferent a zero que no es pot escriure com una suma directa de dos submòduls diferents a zero. Cada mòdul simple és indescomponible.
• Fidel. Un mòdul fidel M és un a on l'acció de cada r (distint de zero) en R és no trivial (és dir, existix algun m en M tal que rm ≠ 0). Equivalent, l'anulador de M és l'ideal zero.
• Noetheriano. Un mòdul noetheriano és un mòdul tal que cada submòdul és finitamente generat. Equivalent, cada cadena creixent de submòduls aplega a ser estacionaria en finitos passos.
• Artiniano. Un mòdul artiniano és un mòdul en el qual cada cadena decreixent de submòduls aplega a ser estacionaria en finitos passos.
• Graduat: Un mòdul graduat és un mòdul en una descomposició com suma directa M = ⨁_x M_x sobre un anell graduat R = ⨁_x R_x tal que R_xM_i ⊂ M_x+i per a tot x i i.
• Uniforme: Un mòdul uniforme és un mòdul en el que tots els parells de submòduls distints de zero tenen intersecció distinta de zero.

Definició alternativa com a representacions

Si M és un R-mòdul esquerre, llavors la acció d'un element r en R es definix com la funció M → M que envia cada x al rx (o al xr en el cas d'un mòdul dret), i és necessàriament un endomorfisme de grup del grup abeliano (M, +). El conjunt de tots els endomorfismes de grup de M és denotat End_Z(M) i forma un anell baix l'adició i composició, i enviant un element r del anelle R a la seua acció definix realment un homomorfisme d'anell de R a End_Z(M).

Tal del homorfismo R de l'anell → End_Z(M) es diu una representació de R en el grup abeliano M; una manera alternativa i equivalent de definir R-mòduls esquerres és dir que un R-mòdul esquerre és un grup abeliano M junt en una representació de R en ell.

Una representació es diu fidel si i solament si la funció R → End_Z(M) és inyectiva. En térmens de mòduls, açò significa que si r és un element de R tal que rx = 0 per a tot x en M, llavors r = 0. Cada grup abeliano és un mòdul fidel sobre els número entero o sobre una certa aritmètica modular Z/n Z.

Nocions adicionals

Relació en la teoria de representacions

Una representació d'un grup G sobre un camp k és un mòdul sobre l'anell de grup k[G].

Si M és un mòdul esquerre de R, llavors la acció d'un element r en R es definix com el mapa M → M que envia cada x a rx (o xr en el cas d'un mòdul dret), i és necessàriament un endomorfisme de grup del grup abeliano (M, +). El conjunt de tots els endomorfismes de grup de M es denota End_Z(M) i forma un anell baix adició i composició, i l'enviament d'un element d'anell r de R a la seua acció definix realment un homomorfisme d'anell de R a End_Z(M).

Tal homomorfisme d'anell R → End_Z(M) es diu una representació de R sobre el grup abeliano M; una forma alternativa i equivalent de definir els mòduls esquerres de R és dir que un mòdul esquerre de R és un grup abeliano M junt en una representació de R sobre ell. Tal representació R → End_Z(M) també pot cridar-se una acció d'anell de R sobre M.

Una representació es diu fidel si i només si el mapa R → End_Z(M) és inyectivo. En térmens de mòduls, açò significa que si r és un element de R tal que rx = 0 per a tot x en M, llavors r = 0. Tot grup abeliano és un mòdul fidel sobre els sancerss o sobre algun anell de sancers mòdul n, Z/nZ.

Generalisacions

Qualsevol anell R es pot vore com categoria preaditiva en un sol objecte. En esta comprensió, un R-mòdul esquerre és un funtor aditiu (covariant) de R a la categoria Ab grups abelianos. Els R-mòduls drets són funtores aditius contravariantes. Açò sugerix que, si C és qualsevol categoria preaditiva, un funtor aditiu covariant de C a Ab siga considerat un mòdul esquerre generalisat sobre C; estos funtores formen una categoria de funtores C-Mod que és la generalisació natural de la categoria de mòduls R-Mod.

Els mòduls sobre anells conmutativos es poden generalisar en una direcció distinta: prenga un espai anellat (X, O_X) i considere els fas d'O_X-mòduls. Estos formen una categoria O_X-Mod. Si X té solament un punt, llavors açò és una categoria de mòdul en el vell sentit sobre l'anell conmutativo O_X(X).

Referències

• F.W. Anderson i K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2.ª Ed., Springer-Verlag, New York, 1992
• Nathan Jacobson. Structure of rings. Colloquium publications, Vol. 37, 2nd Ed., AMS Bookstore, 1964, Plantilla:Isbn

Enllaços externs

• Plantilla:Springer