Mòdul proyectivo

En matemàtiques, particularment en àlgebra abstracta i àlgebra homológica, el concepte de mòdul proyectivo sobre un anell R és una generalisació més flexible de l'idea d'un mòdul lliure (és dir, un mòdul en vectores de base). Hi ha vàries caracterisació equivalents d'estos mòduls.

Definicions

Sumants directes de mòduls lliures

La caracterisació més fàcil és com sumant directe d'un mòdul lliure. És dir, un mòdul P és proyectivo quan hi ha un mòdul Q tal que la suma directa dels dos és un mòdul lliure F. D'açò se seguix que podem pensar en P com un tipo de proyecció en F: l'endomorfisme de mòduls en F que és l'identitat en P i 0 en Q és una matriu idempotent .

Propietat d'elevació

Una atra manera que està més en llínea en la teoria de categories és extraure la propietat de elevació que transporta dels lliures als mòduls proyectivos. Usant una base d'un mòdul lliure F, és fàcil vore que si nos donen un homomorfisme sobreyectivo del mòdul N a M, la funció corresponent de Hom(F, N) a Hom(F, M) és també sobreyectiva (és d'un producte de còpies de N a un producte en els mateixos índexs per a M). Usant els homomorfismes P → F i F → P per a un mòdul proyectivo, és fàcil vore que P té la mateixa propietat; i també si podem alçar l'identitat P → P a P → F per a F algun mòdul lliure mapejat sobre P, P és un sumant directe.

Podem resumir esta propietat d'elevació com seguix: un mòdul P és proyectivo si i solament si per a qualsevol homomorfisme de mòduls sobreyectivo f: N → M i cada homomorfisme de mòduls g: P → M, existix un homomorfisme h: P → N tal que fh = g. (no requerim que l'homomorfisme d'elevació h siga únic; esta no és una propietat universal.)

La ventaja d'esta definició de "proyectivo" és que pot ser realisada en categories més generals que les categories de mòduls: no necessitem una noció de "objecte lliure". Pot també ser dualizada, conduint als mòduls inyectivos.

Per als mòduls, la propietat d'elevació pot equivalentemente ser expressada com seguix: el mòdul P és proyectivo si i només si per a cada homomorfisme de mòduls sobreyectivo f: M → P existix un homomorfisme de mòduls h: P → M tal que fh = identitat_P. L'existència de tal secció h implica que P és un sumant directe de M i que f és essencialment una proyecció en el sumant P.

Els fibrados vectorials i els mòduls localment lliures

Una motivació bàsica de la teoria és que els mòduls proyectivos (per lo manco sobre certs anells conmutativos) són anàlecs als fibrados vectorials. Açò es pot fer precís per a l'anell de funcions real-valuadas contínues en un espai compacte de Hausdorff, tant com per a l'anell de funcions diferenciables en una varietat diferenciable compacta (vore el teorema de Swan).

Els fibrados vectorials són localment lliures. Si hi ha una certa noció de "localisació" que es puga transportar als mòduls, per eixemple la que es dona en la localisació d'un anell, es poden definir mòduls localment lliures, i els mòduls proyectivos llavors coincidixen típicament en els localment lliures. Específicament, un mòdul finitamente generat sobre un anell conmutativo és localment lliure si i només si és proyectivo.