Matriu idempotent

Una matriu idempotent és una matriu que és igual al seu quadrat, és dir:

A és idempotent si A = A.

Si representem el producte $AA$ per $A^2$, llavors $A$ és idempotent només si: $A^2=A$.

En general, l'idempotencia fa referència a una operació que, si es repetix, produïx el mateix resultat que si es portara a terme una sola volta. En el cas de la matriu idempotent es complix que: ${𝐀}^n={𝐀}^2=𝐀$, lo que és vàlit, per a qualsevol valor natural de n (valor sancer, no negatiu, ni nul). L'equació anterior mostra que realisar el producte un número finito de voltes produïx el mateix resultat que realisar-ho una sola volta. Un cas particular de matriu idempotent és una matriu de proyecció.

Propietats

Autovalores

Una matriu idempotent sempre és diagonalisable i els seus autovalorés són o 0 o 1. Açò es demostra considerant un autovector no nul $𝐱$ de certa matriu idempotent $A$. Llavors: $A𝐱=\lambda x⟹A^2𝐱=A\lambda x=\lambda Ax={\lambda }^{2}x⟹$ $Ax={\lambda }^{2}x=⟹\lambda x={\lambda }^{2}x⟹\lambda =0\text{ ó }1$

Traça

La traça d'una matriu idempotent (la suma dels elements del seu diagonal principal) és igual al ranc de la matriu i, per tant, és sempre un sancer. Açò proporciona una manera senzilla de calcular el ranc o, alternativament, de determinar la traça d'una matriu els elements de la qual no són coneguts exactament (lo que és útil en estadística, per eixemple, per a establir el grau de biaix en usar la varianza mostral com estimador de la varianza poblacional).

Eixemples de matrius idempotents

Eixemples de matrius idempotents són si la matriu és nula o la matriu Identitat: ${𝐎}^2=𝐎{𝐈}^2=𝐈$.

Algunes fòrmules de matrius idempotents:

Si el determinant està comprés entre 0 i 1

$A=\left(\begin{array}{cc}a& \sqrt{a-a^2}\\ \sqrt{a-a^2}& 1-a\end{array}\right)$

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ a& 0\end{array}\right)$

Per eixemple, les següents matrius són idempotents

$A=\left(\begin{array}{cc}2/3& 1/3\\ 2/3& 1/3\end{array}\right)$

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Nota. No deu ser necessàriament simètrica. O siga, la matriu elevada al quadrat va a ser la mateixa matriu sense elevar-la.

Vore també

• Idempotencia
• Operador de proyecció