Varianza

Archiu:Comparison standard deviations.svg

Eixemple de mostres de dos poblacions en la mateixa mija pero varianza diferents. La població roja té mija 100 i varianza 100 (DE=10) mentres que la població blava té mija 100 i varianza 2500 (DE=50).

En teoria de provabilitat, la varianza o variancia (que sol representar-se com ${\sigma }^2$) d'una variable aleatòria és una mida de dispersió definida com l'esperança del quadrat de la desviació de dita variable respecte a la seua mija. El seu unitat de mida correspon al quadrat de l'unitat de mida de la variable: per eixemple, si la variable medix una distància en metros, la varianza s'expressa en metros al quadrat. La varianza té com a valor mínim 0. La desviació estàndar (raïl quadrada positiva de la varianza) és una mida de dispersió alternativa, expressada en les mateixes unitats que les senyes de la variable objecte d'estudi.

Cal tindre en conte que la varianza pot vore's molt influïda pels valors atípics i no s'aconsella el seu us quan les distribucions de les variables aleatòries tenen coes pesades. En tals casos es recomana l'us d'atres mides de dispersió més robustes.

Una ventaja de la varianza com a mida de dispersió és que és més susceptible de manipulació algebraica que atres mides de dispersió com la Desviació absoluta esperada; per eixemple, la varianza d'una suma de variables aleatòries no correlacionadas és igual a la suma de les seues varianza. Una desventaja de la varianza per a aplicacions pràctiques és que, a diferència de la desviació estàndar, les seues unitats diferixen de la variable aleatòria, raó per la qual la desviació estàndar es reporta més comunament com una mida de dispersió una volta terminat el càlcul.

Existixen dos conceptes distints que es denominen "varianza". Un, com s'ha comentat anteriorment, forma part d'una distribució de provabilitat teòrica i es definix per mig d'una equació. L'atra varianza és una característica d'un conjunt d'observacions. Quan la varianza es calcula a partir d'observacions, estes se solen medir a partir d'un sistema del món real. Si estan presents totes les observacions possibles del sistema, la varianza calculada es denomina varianza poblacional. No obstant, normalment només es dispon d'un subconjunt, i la varianza calculada a partir d'este es denomina varianza mostral. La varianza calculada a partir d'una mostra es considera una estimació de la varianza de tota la població. Existixen múltiples formes de calcular una estimació de la varianza de la població, com s'explica en la secció següent.

Els dos tipos d'varianza estan estretament relacionats. Para vore cóm, considere's que una distribució de provabilitat teòrica pot utilisar-se com a generador d'observacions hipotètiques. Si es genera un número infinit d'observacions utilisant una distribució, llavors la varianza mostral calculada a partir d'eixe conjunt infinit coincidirà en el valor calculat utilisant l'equació de la distribució per a la varianza.

El terme varianza va ser falcat per Ronald Fisher en un artícul publicat en giner de 1919 en el títul The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.

A continuació es farà un repàs de les fòrmules, cal tindre en conte que la fòrmula de la varianza per a una població (σ²) diferix de la fòrmula de la varianza per a una mostra (s²), Pero abans de vore la fòrmula de la varianza, devem dir que la varianza en estadística és molt important. Ya que encara que es tracta d'una mida senzilla, pot aportar molta informació sobre una variable en concret.

Etimologia

El terme varianza va ser introduït per primera volta per Ronald Fisher en el seu artícul de 1918 La correlació entre parents en el supòsit d'herència mendeliana:

El gran cos d'estadístiques disponibles nos mostra que les desviacions d'una medida humana respecte a la seua mija seguixen molt de prop la Llei Normal d'Errors, i, per tant, que la variabilitat pot medir-se uniformemente per la desviació típica corresponent a la raïl quadrada del error quadràtic mig. Quan existixen dos causes independents de variabilitat capaces de produir en una població, per lo demés uniforme, distribucions en desviacions típiques

${\sigma }_1$

i

${\sigma }_2$

, es comprova que la distribució, quan abdós causes actuen conjuntament, té una desviació típica

$\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}$

. Per lo tant, en analisar les causes de la variabilitat, és convenient tractar el quadrat de la desviació típica com a mida de la variabilitat. Denominarem a esta cantitat Varianza...

Archiu:Variance visualisation.svg

Visualisació geomètrica de la varianza d'una distribució arbitrària (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9): * Es construïx una distribució de freqüències. * El centroide de la distribució dona la seua mija. * Es forma un quadrat en costats iguals a la diferència de cada valor respecte a la mija per a cada valor. * Arreglant els quadrats en un rectàngul en un costat igual al número de valors, n, resulta que l'atre costat és la varianza de la distribució, σ².

Definició

La varianza d'una variable aleatòria $X$ és el valor esperat del quadrat de les desviacions de la mija de $X$, $\mu =\mathrm{E}[X]$:

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2].$

Esta definició comprén variables aleatòries generades per processos que són discreta, contínua, cap de les dos, o mixts. La varianza també pot considerar-se com la covarianza d'una variable aleatòria en si mateixa:

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Cov}(X,X).$

La varianza també és equivalent al segon cumulante d'una distribució de provabilitat que genera $X$. La varianza es designa típicament com $\mathrm{Var}(X)$, o a voltes com $V(X)$ o $𝕍(X)$, o simbòlicament com ${\sigma }_X^2$ o simplement ${\sigma }^2$ (pronunciat "sigma al quadrat"). L'expressió per a la varianza pot expandir-se com seguix:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)& =\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^2]\\ & =\mathrm{E}[X^2-2X\mathrm{E}[X]+\mathrm{E}[X{]}^2]\\ & =\mathrm{E}\left[X^2\right]-2\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[X]+\mathrm{E}[X{]}^2\\ & =\mathrm{E}\left[X^2\right]-2\mathrm{E}[X{]}^2+\mathrm{E}[X{]}^2\\ & =\mathrm{E}\left[X^2\right]-\mathrm{E}[X{]}^2\end{array}$

En atres paraules, la varianza de X és igual a la mija del quadrat de X menys el quadrat de la mija de X. Esta equació no deu utilisar-se per a càlculs que utilisen aritmètica de menge flotant, perque sofrix de cancelació catastròfica si els dos components de l'equació són similars en magnitut. Per a atres alternatives numèricament estables, vore Algoritmes per a calcular la varianza.

Fòrmula per a calcular la varianza

L'unitat de mida de la varianza serà sempre l'unitat de mida corresponent a les senyes pero elevada al quadrat. La varianza sempre és major o igual que zero. En elevar-se els residus al quadrat és matemàticament impossible que la varianza ixca negativa. I d'eixa forma no pot ser menor que zero.

Siga $X$ una variable aleatòria en mija $\mu =\mathrm{E}(X)$, es definix la varianza de la variable aleatòria $X$, denotada per $\mathrm{Var}(X)$, ${\sigma }_X^2$ o simplement ${\sigma }^2$ com

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]$

Desenrollant la definició anterior, s'obté la següent definició alternativa (i equivalent):

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)& =\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]\\ & =\mathrm{E}[(X^2-2X\mu +{\mu }^2)]\\ & =\mathrm{E}[X^2]-2\mu \mathrm{E}[X]+{\mu }^2\\ & =\mathrm{E}[X^2]-2{\mu }^2+{\mu }^2\\ & =\mathrm{E}[X^2]-{\mu }^2\\ & =\mathrm{E}[X^2]-{\mathrm{E}}^2[X]\end{array}$

Si una distribució no té esperança, com ocorre en la de Cauchy, tampoc té varianza. Existixen atres distribucions que, encara tenint esperança, carixen d'varianza. Un eixemple d'elles és la de Pareto quan el seu índex $k$ satisfà $1<k\le 2$.

Cas continu

Si la variable aleatòria $X$ és contínua en funció de densitat $f(x)$ llavors

$\mathrm{Var}(X)=\underset{R_X}{\int }(x-\mu {)}^{2}f(x)dx$

a on

$\mu =\mathrm{E}[X]=\underset{R_X}{\int }xf(x)dx$

i les integrals estan definides sobre el soport de la variable aleatòria $X$, és dir, $R_X$.

Cas discret

Si la variable aleatòria $X$ és discreta en funció de provabilitat $\mathrm{P}[X=x]$ llavors

$\mathrm{Var}(X)=\sum _{x\in R_X}(x-\mu {)}^2\mathrm{P}[X=x]$

a on

$\mu =\mathrm{E}[X]=\sum _{x\in R_X}x\mathrm{P}[X=x]$

Propietats

Sean $X$ i $Y$ dos variables aleatòries en varianza finita i $a\in ℝ$

1. $\mathrm{Var}(X)\ge 0$
2. $\mathrm{Var}(a)=0$
3. $\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)$
4. $\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$, a on $\mathrm{Cov}(X,Y)$ denota la covarianza de $X$ i $Y$
5. $\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)$ si $X$ i $Y$ són variables aleatòries independents.
6. $\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{E}(\mathrm{Var}(Y|X))+\mathrm{Var}(\mathrm{E}(Y|X))$ càlcul de la Varianza per Pitágoras, on $Y|X$ és la variable aleatòria condicional $Y$ dau $X$.

Eixemples

En llançar una moneda podríem obtindre Cara o Cruz.

Anem a donar-los els valors Cara = 0 i Cruz = 1 i tenim una variable aleatòria "X":

Usant notació matemàtica:

X = {0, 1}

Nota: ¡Podríem elegir Cara = 100 i Cruz = 150 o atres valors si volem! És la nostra elecció. Llavors:

• Tenim un experiment (com llançar una moneda)
• Donem valors a cada event.
• El conjunt de valors formen la Variable Aleatòria

Distribució exponencial

Si una variable aleatòria contínua $X$ té una distribució exponencial en paràmetro $\lambda$ llavors la seua funció de densitat està donada per

$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

per a $x\ge 0$.

No és difícil vore que la mija de $X$ és $\mathrm{E}[X]=1/\lambda$, per lo que per a trobar la seua varianza calculem

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(x-\frac{1}{\lambda })}^2\lambda e^{-\lambda x}dx\end{array}$

Despuix d'integrar es pot concloure que

$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

Dau perfecte

Un dau de sis cares pot representar-se com una variable aleatòria discreta que pren, valors de l'1 al 6 en provabilitat igual a ¹/₆. El valor esperat és (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Per lo tant, la seua varianza és:

$\sum _{i=1}^6\frac{1}{6}(i-3,5{)}^2=\frac{1}{6}((-2,5{)}^2+(-1,5{)}^2+(-0,5{)}^2+0,5^2+1,5^2+2,5^2)=\frac{1}{6}\cdot 17,50=\frac{35}{12}\approx 2,92.$

Varianza mostral

En moltes situacions cal estimar la varianza poblacional a partir d'una mostra. Si es pren una mostra en tongada $(x_1,x_2\dots ,x_n)$ de $n$ valors d'ella, d'entre tots els estimadors possibles de la varianza de la població de partida, existixen dos d'us corrent

El primer d'ells

$s_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x})}^2$

que pot ser escrit com

$s_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\overline{x}}^2$

puix

$\begin{array}{cc}{s}_n^2& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i^2-2x_i\bar{x}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}})\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\frac{2\bar{x}}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}1\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}\end{array}$

i el segon d'ells és

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2$

que pot ser escrit com

$s^2=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}}{n-1}$

puix

$\begin{array}{cc}{s}^2& =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2\\ & =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i^2-2x_i\bar{x}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}})\\ & =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\frac{2\bar{x}}{n-1}\sum _{i=1}^n{x}_i+\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}}{n-1}\sum _{i=1}^{n}1\\ & =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\frac{2\bar{x}n}{n-1}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i+\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}n}{n-1}\\ & =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\frac{2\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}n}{n-1}+\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}n}{n-1}\\ & =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}n}{n-1}\\ & =\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}}{n-1}\end{array}$

A abdós li'ls denomina varianza mostral, diferixen llaugerament i, per a valors grans de $n$, la diferència és irrellevant. El primer trasllada directament la varianza de la mostra al de la població i el segon és un estimador insesgado de la varianza poblacional puix

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[s^2]& =\mathrm{E}[\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\frac{n}{n-1}\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}]\\ & =\frac{1}{n-1}(\sum _{i=1}^n\mathrm{E}[x_i^2]-n\mathrm{E}[{\overline{x}}^2])\\ & =\frac{1}{n-1}(n\mathrm{E}[x_1^2]-n\mathrm{E}[\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}])\\ & =\frac{n}{n-1}(\mathrm{Var}(x_1)+\mathrm{E}[x_1{]}^2-\mathrm{Var}(\bar{x})-\mathrm{E}[\bar{x}{]}^2)\\ & =\frac{n}{n-1}(\mathrm{Var}(x_1)+{\mu }^2-\frac{1}{n}\mathrm{Var}(x_1)-{\mu }^2)\\ & =\frac{n}{n-1}(\frac{n-1}{n}\mathrm{Var}(x_1))\\ & =\mathrm{Var}(x_1)\\ & ={\sigma }^2\end{array}$

mentres que

$E[s_n^2]=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2$

Propietats de la varianza mostral

Com a conseqüència de l'igualtat $\mathrm{E}(s^2)={\sigma }^2$, $s^2$ és un estadístic insesgado de ${\sigma }^2$. Ademés, si es complixen les condicions necessàries per a la llei dels grans números, s² és un estimador consistent de ${\sigma }^2$.

Més encara, quan les mostres seguixen una distribució normal, pel teorema de Cochran, $s^2$ té la distribució chi-quadrat:

$n\frac{s^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2.$

Interpretacions de la varianza mostral

Deixem tres fòrmules equivalents per al càlcul de la varianza mostral $s_n$

$s_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(y_i-\bar{y})}^2=\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right)-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{y}}=\frac{1}{n^2}\sum _{i<j}{(y_i-y_j)}^2$

Esta última igualtat té interés per a interpretar els estimadors $s^2$ i $s_n^2$, puix si es vol evaluar la desviació d'unes senyes o les seues diferències, es pot optar per calcular el promig dels quadrats de les diferències de cada parell de senyes:

$2s_n^2=\frac{\sum _{(i⩽n,j⩽n)}{(y_i-y_j)}^2}{n^2}$. Note's que el número de sumants és $n^2$.

O es pot considerar el promig dels quadrats de les diferències de cada parell de senyes sense tindre en conte cada senya conseguixc mateixa, ara el número de sumants és $n(n-1)$.

$2s^2=\frac{\sum _{i\ne j}{(y_i-y_j)}^2}{n(n-1)}$

Algunes aplicacions de la varianza

Les aplicacions estadístiques del concepte de la varianza són incontables. Les següents són solament algunes de les principals:

• Els estimadors eficients. Són aquells l'esperança dels quals és el verdader valor del paràmetro i, ademés, tenen una mínima varianza. D'esta manera, fem lo més chicotet possible el risc de que lo que extraem d'una mostra s'aparte massa del verdader valor del paràmetro.
• Els estimadors consistents. Són aquells que, a mida que creix el tamany de la mostra, tendixen a tindre una varianza de zero. Per lo tant, en mostres grans, l'estimació tendix a desviar-se molt poc del verdader valor.
• En la distribució normal, la varianza (la seua raïl quadrada, la desviació típica) és un dels paràmetros. La campana de Gauss tendix a ser més alta i estreta a mida que la varianza disminuïx.
• En models de regressió, parlem d'homocedasticidad quan la varianza de l'error és constant a lo llarc de les seues observacions. Per eixemple, en una regressió simple, veem un núvol de punts en la que la dispersió dels punts al voltant de la recta o curva estimada es manté constant.
• L'anàlisis de la varianza (ANOVA) permet comparar diferents grups i vore els factors que influïxen en ells.
• La desigualtat de Chebyshev nos permet acotar en quina mida és provable que una variable aleatòria se separe de la seua esperança matemàtica en proporció a la seua desviació típica (raïl quadrada de la varianza).

Conclusió

En l'anàlisis d'varianza s'estudien les diferències significatives entre dos o més miges d'una mostra. Este anàlisis es coneix comunament com ANOVA i nos permet determinar també si eixes miges provenen d'una mateixa població (pot ser el número total d'empleats d'una empresa), o si les miges de dos poblacions són iguals.

Per un atre costat, la varianza de la mateixa manera que la desviació estàndar són molt sensibles als valors atípics, estos són els valors que s'allunten molt de la mija o que són molt distints a esta.

Per a que estes mides no es vegen tan afectades, estos valors atípics poden obviar-se l'hora de realisar els anàlisis i inclús els càlculs. També poden amprar-se atres mides de dispersió que són més útils en estos casos.

En el cas d'analisar el risc d'una inversió, es tenen en conte dos aspectes importants, un és el rendiment invertit i un atre l'esperat d'acort a l'inversió realisada. Com ya es va mencionar, es pot utilisar la varianza per a analisar este risc.

Vore també

• Informació de Fisher
• Desviació típica o desviació estàndar
• Esperança matemàtica o valor esperat
• Covarianza
• Anàlisis d'varianza

Enllaços externs

• [1] Simulació de la varianza d'una variable discreta en R (llenguage de programació)
• [www.solin.16mb.com/estadistica_js/MediayDesviacion.htm] Un triàngul rectàngul.