Cumulante

En teoria de la provabilitat i estadística, els cumulantes κ_n d'una distribució de provabilitat són un conjunt de cantitats que proporcionen una alternativa als moments d'una distribució.

Els moments determinen els cumulantes en el sentit de que donades dos distribucions de provabilitat els moments de la qual siguen idèntics, també tindran cumulantes idèntics, i de manera similar, els cumulantes determinen els moments.   El primer cumulante és la mija, el segon cumulante és la varianza, i el tercer cumulante és el mateix que el tercer moment central. Pero els cumulantes de quart orde o superiors no són iguals als moments centrals. En alguns casos, els tractaments teòrics dels problemes en térmens de cumulantes són més simples que els que usen moments. En particular, quan dos o més variables aleatòries són independents, el cumulante d'orde n^ésimo de la seua suma és igual a la suma de les seues cumulantes d'orde n^ésimo. Ademés, els cumulantes de tercer i major orde d'una distribució normal són zero, sent l'única distribució en esta propietat.

De la mateixa manera que per als moments, a on s'utilisen moments conjunts quan es treballa en múltiples variables aleatòries, és possible definir cumulantes conjunts.

Definició

Els cumulantes d'una variable aleatòria X es definixen utilisant la funció de generació de cumulantes K(t), que és el logaritmo natural de la funció generadora de moments:

$K(t)=\ln \mathrm{E}\left[e^{tX}\right].$

Els cumulantes κ_n s'obtenen d'una expansió en série de potències de la funció de generació del cumulante:

$K(t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\kappa }_n\frac{t^n}{n!}=\mu t+{\sigma }^2\frac{t^2}{2}+\cdots .$

Esta expansió és una série de Taylor, per lo que el n-ésimo cumulante es pot obtindre en diferenciar n voltes l'expansió anterior i igualar el resultat a zero:

${\kappa }_n=K^{(n)}(0).$

Si la funció que genera el moment no existix, els cumulantes es poden definir en térmens d'una relació en els propis moments, que s'analisa més alvance.

Definició alternativa de la funció de generació de cumulantes

Alguns autors preferixen definir la funció de generació de cumulantes com el logaritmo natural de la funció característica, que a voltes també es denomina la funció característica segona:

$H(t)=\ln \mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\kappa }_n\frac{(it{)}^n}{n!}=\mu it-{\sigma }^2\frac{t^2}{2}+\cdots$

Una ventaja de H(t) (en cert sentit, la funció K(t) evaluada per a arguments purament imaginaris), és que I(i^itX) està ben definida per a tots els valors reals de t, inclús quan I(i^tX) no està ben definit per a tots els valors reals de t, com pot ocórrer quan hi ha massa provabilitat de que X tinga una gran magnitut. Encara que la funció H(t) estarà ben definida, no obstant, s'assemblarà a K(t) en térmens de la llongitut de la seua série de Taylor, que pugues no estendre's més allà (o, rara volta, inclús a) l'orde llineal en l'argument t, i en particular el número dels cumulantes que estan ben definits no canviarà. No obstant, inclús quan H(t) no té una série llarga de Maclaurin, pot usar-se directament per a analisar i, particularment, per a agregar variables aleatòries. Tant la distribució de Cauchy (també cridada Lorentziana) com, en general, les distribucions estables (relacionades en la distribució de Lévy) són eixemples de distribucions per a les quals les expansions de les funcions de generació de la série de potències tenen sol finamente molts térmens ben definits.

Usos en estadística

Treballar en cumulantes pot tindre una ventaja sobre l'us de moments, perque per a les variables aleatòries estadísticament independents X i I,

$\begin{array}{cc}{K}_{X+Y}(t)& =\ln \mathrm{E}\left[e^{t(X+Y)}\right]\\ & =\ln (\mathrm{E}\left[e^{tX}\right]\mathrm{E}\left[e^{tY}\right])\\ & =\ln \mathrm{E}\left[e^{tX}\right]+\ln \mathrm{E}\left[e^{tY}\right]\\ & =K_X(t)+K_Y(t),\end{array}$

de modo que cada cumulante d'una suma de variables aleatòries independents, és la suma dels corresponents cumulantes dels sumants. És dir, quan els sumants són estadísticament independents, la mija de la suma és la suma de les miges, la varianza de la suma és la suma de les varianza, el tercer cumulante (que és el tercer moment central) de la suma és la suma dels tercers cumulantes, i aixina successivament per a cada orde de cumulante.

Una distribució en els κ_n cumulantes donats es pot aproximar a través d'una expansió de Edgeworth.

Vore també

• Valor entrópico en risc
• Funció generadora de cumulantes des d'un multiconjunto
• Expansió de Cornish–Fisher
• Expansions de Edgeworth
• Polykay
• k-estadística, un biaix estadístic d'varianza mínima d'un cumulante
• Funció de Ursell
• Tensor de distribució de posició total, com una aplicació de cumulantes per a analisar la funció d'ona electrònica en química quàntica