Multiconjunto

En matemàtiques un multiconjunto (també cridat bossa o bag) diferix d'un conjunt en que cada membre del mateix té associada una multiplicitat (un número natural), indicant quàntes voltes l'element és membre del conjunt. Per eixemple, en el multiconjunto { a, a, b, b, b, c }, les multiplicitat dels membres a, b, i c són 2, 3, i 1, respectivament. Per a evitar confusió deguera escriure's: <a,a,b,b,b,c>

Richard Dedekind ya usava el terme multiconjunto en un artícul publicat en 1888.

Definició formal

En teoria de conjunts, un multiconjunto es definix com un conjunt en el que cada element és un parell (A, m) a on A és un conjunt i m : A → $\mathbb{N}$ és una funció de A a $\mathbb{N}$ (número natural). A es coneix com el conjunt subjacent d'elements. Per a cada a de A, la multiplicitat de a és el número m(a).

És comú escriure la funció m com un conjunt de parells ordenats {(a, m(a)) : a ∈ A}. Sent esta, sense dubte, la definició (utilisant teoria de conjunts) de la funció m. Per eixemple:

• El multiconjunto escrit com {a, b, b} es definix com {(a, 1), (b, 2)},
• El següent {a, a, b}, per la seua banda, es definix com {(a, 2), (b, 1)}, i
• Finalment, el multiconjunto {a, b} es definix com {(a, 1), (b, 1)}.

Si el conjunt A és finito, el tamany o llongitut del multiconjunto (A, m) és la suma de totes les multiplicitat per a cada element de A:

$\sum _{a\in A}m(a).$

Un submulticonjunto (B, n) del multiconjunto (A, m) és un subconjunt B ⊆ A i una aplicació n : B → N tal que n(a) ≤ m(a).

Eixemples

Un dels eixemples més simples és el multiconjunto dels factors primers d'un número n. El conjunt subjacent d'elements, en este cas, és el conjunt de divisores primers de n. Per eixemple, per al número 120 obtenim la factorización:$120=2^3{3}^1{5}^1$, que resulta el multiconjunto {2, 2, 2, 3, 5}.

Un atre eixemple conegut és el multiconjunto de solucions d'una equació algebraica. Una equació quadràtica, per eixemple, té dos solucions; encara que en alguns casos, abdós poden ser el mateix número. Aixina, el multiconjunto de solucions d'una equació quadràtica pot ser { 3, 5 }, pero també { 4, 4 }. En este últim, la solució 4 té multiplicitat 2.

Vore també

• Combinacions en repetició