Distribució estable
En teoria de la provabilitat, una distribució es denomina estable (o una variable aleatòria es denomina estable) si és una combinació llineal de dos o més còpies independents d'una mostra aleatòria que té la mateixa distribució de provabilitat, salve per potser algun paràmetro de localisació o escala.
La família de distribucions estables a voltes es denomina també distribució α-estable de Lévy, en honor a Paul Lévy, el primer en estudiar este tipo de distribucions.[1][2]
Dels quatre paràmetros que definixen una distribució estable, el més significatiu és el paràmetro d'estabilitat, α (vore ficha lateral). Les distribucions estables satisfan que 0 < α ≤ 2, corresponent el valor màxim en una distribució normal (que és el cas més senzill de distribució estable). El valor α = 1 correspon a la distribució de Cauchy. Les distribucions estables no tenen una varianza finita si α < 2, més encara si α ≤ 1 ni tan sols tenen mija finita. L'importància pràctica de les distribucions estables és que són "atractores" per a la distribució de sumes de variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes (que ademés pertanyen a espais Lp). La distribució normal definix una subfamília de distribucions estables. Pel clàssic teorema del llímit central la suma d'un conjunt de variables en idèntica distribució i independents i que ademés tinga varianza finita, tendirà a una distribució normal a mida que el número de variables que intervé en la suma creix. Sense la restricció d'varianza finita, la teorema del llímit central no serà aplicable, pero la suma d'eixes variables tendirà cap a una distribució estable (α < 2).
Mandelbrot va denominar a les distribucions estables en α < 2 com "distribucions estables paretianas",[3][4][5] per Vilfredo Pareto. Mandelbrot va usar el terme per a distribucions estables "positives" (és dir, máximamente asimètriques cap a la direcció positiva) en 1<α<2 com "distribucions de Pareto-Lévy".[1] Ademés va considerar que estes últimes eren rellevants per a descriure els preus d'accions i productes de consum.
Definició
[editar | editar còdic]Una distribució no degenerada és estable si satisfà la següent propietat:
- Sean X1 i X2 dos còpies d'una variable aleatòria X (és dir, dos instàncies de variables aleatòries independents, de variables que tenen la mateixa distribució que X). Llavors X es denomina estable si existixen dos constants a > 0 i b > 0 tals que la nova variable aleatòria aX1 + bX2 tinga la mateixa distribució que cX + d per a atres dos constants c > 0 i d. La distribució es diu estictamente estable si açò seguix sent cert encara en d = 0.[6]
ya que la distribució normal, la distribució de Cauchy i la distribució de Lévy satisfan esta propietat, són casos particulars de distribucions estables. Més encara, Lévy va demostrar que el conjunt de totes les distribucions estables pot representar-se com una família donada per quatre paràmetros de distribucions contínues. Dos dels paràmetros representen el paràmetro de localisació μ i el factor d'escala c, mentres que els atres dos β i α, es corresponen en el grau d'asimetria i concentració (vore gràfiques de la ficha lateral).
Encara que la densitat de provabilitat d'estes distribucions estables no admet una fòrmula analítica tancada (expressable en térmens de funcions elementals), no obstant, la seua funció característica si admet una fòrmula analítica tancada. Qualsevol distribució de probaiblidad donada per la transformada de Fourier d'una funció característica φ(t) del tipo:
Una variable aleatòria X és estable si la seua funció característica pot escriure's com[6][7]
a on sgn(t) és simplement la funció signe de t i Φ ve donada per
per a tot α, llevat α = 1, en el cas del qual:
μ ∈ R és un paràmetro de localisació i β ∈ [−1, 1] es denomina paràmetro d'asimetria. Note's que en este context l'asimetria "usual" no està ben definida, quan α < 2 ya que la distribució no admet moments de segon orde ni superiors (pero l'asimetria usual usa en la seua definició el tercer moment central).
La raó de que una distribució que satisfà les condicions anteriors siga estable és que la funció característica per a la suma de dos variables aleatòries és igual al producte de les corresponents funcions característiques. En sumar dos variables aleatòries que tenen una distribució estable s'obté una atra variable en els mateixos valors de α i β, pero possiblement valors diferents de μ i c (canvia la localisació i l'escala, pero no l'el paràmetro d'estabilitat ni el paràmetro d'asimetria).
No qualsevol funció és la funció característica d'una distribució de provabilitat llegítima, ya que una funció de distribució real varia entre 0 i 1 són decréixer, pero la funció caractecterística donada anteriorment podria no ser adequada si els pámetros no estan dins del ranc adequat. El valor de la funció característica per a cert valor t és el complex conjugat del seu valor en −t com deuria ser per a que una funció de distribució siga real. En el cas més senzill β = 0, la funció característica és simplement una funció exponencial estirada, la distribució és simètrica al voltant de μ i en eixe cas es denomina distribució α-estable simètrica de Lévy, freqüentment abreviada com a SαS. Quan α < 1 i β = 1, la distribució té un soport en [μ, ∞). El paràmetro c > 0 és un factor d'escala que medix l'ample típic de la distribució mentres que α és l'exponent o índex de la distribució que especifica el comportament asintòtic de dita distribució.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ 1,0 1,1 B. Mandelbrot, "The Pareto-Lévy Law and the Distribution of Income", International Economic Review 1960
- ↑ Paul Lévy, Calcul dones probabilités, 1925.
- ↑ B.Mandelbrot, Stable Paretian Random Functions and the Multiplicative Variation of Income, Econometrica 1961 http://www.jstor.org/stable/pdfplus/1911802.pdf
- ↑ B. Mandelbrot, The variation of certain Speculative Prices, The Journal of Business 1963 [1]
- ↑ Eugene F. Fama, Mandelbrot and the Stable Paretian Hypothesis, The Journal of Business 1963
- ↑ 6,0 6,1 «Stable Distributions - Models for Heavy Tailed Data». Archivat des d'el original, el 17 de juliol de 2011. Consultat el 21 de febrer de 2009.
- ↑ Voit, Johannes (2005). The Statistical Mechanics of Financial Markets - Springer, Springer. doi:10.1007/b137351.
Enllaços externs
[editar | editar còdic]- The STABLE program for Windows is available from John Nolan's stable webpage: http://academic2.american.edu/jpnolan/stable/stable.html
- Archivat el 30 de octubre de 2006 archivat en Wayback Machine.. It calculates the density (pdf), cumulative distribution function (cdf) and quantiles for a general stable distribution, and performs maximum likelihood estimation of stable parameters and some exploratory data analysis techniques for assessing the fit of a data set.
- Matlab codes for simulation of stable variables and estimation of stable parameters llaure available from RePEc: https://idees.repec.org/i/pwe42.html#software
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Distribución estable» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.