Funció elemental

En matemàtiques, una funció elemental és una funció construïda a partir d'una cantitat finita de funcions elementals fonamentals i constants per mig d'operacions racionals (adició, substracció, multiplicació i divisió) i la composició de funcions. Usant exponencialés, logarítmiques, potencials, constants, i les funcions trigonométricas i les seues inverses, totes considerades dins del grup de funcions elementals fonamentals.

Les funcions elementals són un subconjunt del conjunt de les funcions generades a partir de les funcions especials, per mig d'operacions elementals i composició.

Llista de funcions elementals simples

Hi ha atres autors que denominen funcions elementals fonamentals, que tampoc consideren a la funció constant com a funció elemental fonamental. Hi ha distints procediments per a representar les funcions. No obstant, assumix peculiar importància el procediment de representar-les per fòrmules. Açò es veu en les que es denominen funcions elementals o ben simples, entre elles:

1. Funció constant: $f(x)=c$
2. Funció identitat: $f(x)=x$
3. Funció quadràtica: $f(x)=x^2$
4. Funció cúbica: $f(x)=x^3$
5. Funció raïl o funció irracional: $f(x)=\sqrt{x}$, en x ≥ 0.
6. Funció potencial: $f(x)=x^n$, n ∈ ℝ en n ≠ 0. Notem que la funció quadràtica, la funció cúbica són casos particulars d'esta funció.
7. Funció exponencial: $f(x)=a^x$, x ∈ ℝ i a ∈ ℝ₊
8. Funció logarítmica: $f(x)={\log }_a(x)$, x ∈ ℝ₊; a ∈ ℝ₊ en a ≠ 1.

Funcions trigonométricas

1. Funció sen: $f(x)=\sin (x)$
2. Funció coseno: $f(x)=\cos (x)$
3. Funció tangente: $f(x)=\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$, en x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ ℤ.
4. Funció secante: $f(x)=\sec (x)$, en x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ ℤ.
5. Funció cosecante: $f(x)=\csc (x)$, en x ≠ kπ; k ∈ ℤ.
6. Funció cotangente: $f(x)=\cot (x)$, en x ≠ kπ; k ∈ ℤ.

Funcions trigonométricas inverses

1. Funció arcoseno: $f(x)=\arcsin (x)$, en x ∈ [-1, 1]
2. Funció arcocoseno: $f(x)=\arccos (x)$, en x ∈ [-1, 1]
3. Funció arcotangente: $f(x)=\arctan (x)$

Generació de funcions elementals

Si les funcions anteriors es combinen, podent usar, un número finito de voltes, les operacions d'adició, resta, multiplicació, divisió i composició de funcions, es conseguixen, novament, funcions elementals. Certament, més complicades que les de la llistaprecedent

Eixemples

Un eixemple de funció elemental és el següent:

Esta funció és elemental ya que pot obtindre's recursivamente a partir de combinacions de funcions clarament elementals:

$f_1(x)=\tan (x)$

$f_2(x)=e^x$

$f_3(x)=x^2$

$f_4(x)=\ln (x)$

$f_5(x)=\sqrt{x}$

$f_6(x)=\sin (x)$

En el següent orde:

1. $g_1(x)=f_1(x)=\tan (x)\to g_2(x)=(f_2\circ f_1)(x)=e^{\tan (x)}$
2. $g_3(x)=\frac{g_2(x)}{1-f_3(x)}=\frac{(f_2\circ f_1)(x)}{1-f_3(x)}=\frac{e^{\tan (x)}}{1-x^2}$
3. $h_1(x)=f_4(x)\to h_2(x)=f_3(h_1(x))=(f_3\circ f_4)(x)={\ln }^{2}x$
4. $h_3(x)=1+h_2(x)=1+{\ln }^{2}x\to h_4(x)=f_5(h_3(x))=\sqrt{1+{\ln }^{2}x}$
5. $h_5(x)=f_6(h_4(x))=(f_6\circ h_4)(x)=\sin (\sqrt{1+{\ln }^{2}x})$
6. $F(x)=g_3(x)\cdot h_5(x)$

Un atre eixemple curiós de funció elemental és el següent:

El domini d'esta última funció no inclou cap número real.

Un eixemple d'una funció que no és elemental és la funció error:

fet que no pot ser reconegut a simple vista a partir de la definició de la funció elemental pero que es pot demostrar per mig del algoritme de Risch.

El concepte de funcions elementals va ser desenrollat per Joseph Liouville en una série de treballs entre 1833 i 1841. Durant la década de 1930 Joseph Fels Ritt va ser pioner en el tractament algebraic de les funcions elementals.

Notes i referències

Bibliografia

• Maxwell Rosenlicht(1972).79

963–972.

• Joseph Ritt, Differential Algebra, AMS, 1950.

Enllaços externs

• Funció elemental en MathWorld.