Logaritmo

Archiu:Mplwp log2e10.svg

Logaritmo

En anàlisis matemàtic el logaritmo en base $b$ d'un número real positiu $n$ és l'exponent $x$ de $b$ per a obtindre $n$:

${\log }_{b}n=x\iff n=b^x$

La base té que ser positiva i distinta d'1.

Quan la base és 10, esta no es posa, i s'escriu com $\log n=x$ i quan és $\text{e}$ s'escriu com $\ln n=x$

Aixina, el logaritmo de 1000 en base 10 és 3, perque 10 a la gaveta val 1000:

${\log }_{10}1000=3\iff 10^3=1000$

De la mateixa manera que l'operació oposta de la suma és la resta i la de la multiplicació la divisió, el càlcul de logaritmos o logaritmación és l'operació inversa a l'exponenciación de la base del logaritmo.

Per a representar l'operació de logaritmo en una determinada base s'escriu l'abreviatura log i com a subíndex la base, i despuix el número que el seu logaritmo es desija trobar o expressar. Per eixemple: $3^5=243$, després: ${\log }_3(243)=5$. Quan es sobreentiende la base, es pot ometre.

Els logaritmos varen ser introduïts per John Napier a principis de el XVII com un mig de simplificació dels càlculs i varen ser prontamente adoptats per científics, ingeniers, banquers i uns atres per a realisar operacions fàcil i ràpidament, usant regles de càlcul i taules de logaritmos. Estos dispositius es basen en el fet, important en sí mateixa —per identitats logarítmiques—, de que el logaritmo d'un producte és la suma dels logaritmos dels factors:

${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$

La noció actual dels logaritmos prové de Leonhard Euler, qui els va conectar en la funció exponencial en el XVIII i també va introduir el Número de Euler (representat per la lletra i) com a base dels logaritmos naturals.

Introducció

Els logaritmos, que fan possible transformar una multiplicació en una suma, una divisió en una resta, una potencia en un producte i una raïl en una divisió, varen tindre gran importància perque simplificaven els càlculs numèrics; hui en dia, en les calculadoras i els ordenadorés, les operacions en logaritmos han canviat substancialment.

Definició

Es definix el logaritmo com el procés de trobar l'exponent al com va ser elevada la base per a obtindre un número.

Donat un número real (argument $x$), la funció logaritmo li assigna l'exponent $n$ (o potència) a la que un número fix $b$ (base) s'ha d'elevar per a obtindre dit argument. És la funció inversa de $b$ a la potència $n$. Esta funció s'escriu com: $n={\log }_b(x)$, lo que permet obtindre $n$.

${\log }_b(x)=n\iff x=b^n$

Es llig: logaritmo en base $b$ de $x$ és igual a $n$, si, i solament si $x$ és el resultat de $b$ elevat a $n$. Per a que la definició siga vàlida, la base $b$ té que ser positiva i distinta d'1: $b\in (0,1)\cup (1,\mathrm{\infty })$, i la $x$ té que ser positiva: $\mathrm{\forall }x>0$.

Aixina, en l'expressió $10^2=100$, el logaritmo en base 10 de 100 és 2; i s'escriu com ${\log }_{10}(100)=2$.

Propietats generals

Archiu:Binary logarithm plot.svg

Gràfica de la funció logaritmo en base 2. Observe's que la funció és estrictament creixent i que només està definida per a números positius.

Els logaritmos, independentment de la base elegida, complixen una série de propietats comunes que els caracterisen. Aixina, el logaritmo de la seua base és sempre 1; log_b b = 1 ya que b¹ = b. El logaritmo d'1 és zero (independentment de la base); log_b 1=0 ya que b⁰ = 1.

Si b és sancer (Z) i l'número real a es troba dins del interval 0 <  a < 1, llavors log_b a dona un valor negatiu o es diu que és un logaritmo negatiu. És evident, ya que si el logaritmo d'1 és zero, llavors valors reals menors que un seran negatius per ser la funció logarítmica estrictament creixent i que el seu recorregut és (-∞, +∞). També usant l'identitat logarítmica log_b(x/i)=log_b x - log_b i; lloc que a pertany a l'interval 0 <  a < 1, el seu invers a^-1 serà major que un, en lo que log_b(a)=log_b(1/a^-1) = log_b 1 - log_b(a^-1)= -log_b(a^-1). La qual cosa pot resumir-se aixina: Siga b ∈ Z ∧ 0<a<1 ⇒ log_b(a)= -c.

Els números negatius no tenen logaritmo en el cos dels reals R, ya que qualsevol que siga l'exponent n, es tindrà sempre que bⁿ serà major que zero, bⁿ > 0; en conseqüència, no hi ha cap valor real de n que puga satisfer bⁿ = x quan x siga menor que 0. No obstant, este obstàcul es pot salvar, ampliant el domini de definició al cos dels número complejo C, podent calcular logaritmos de números negatius usant el logaritmo complex o recorrent a la fòrmula de Euler.

Les potències consecutives d'una base formen una progressió geomètrica i la dels exponents una progressió aritmètica. Per eixemple, les potències de 2 són 1,2,4,8,16,32,64,…, etc., i els seus exponents seran 0, 1, 2, 3, 4, …, etc., ya que 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, i 2⁴ = 16, etc., després log₂ 1 = 0, log₂ 2 = 1, log₂ 4 = 2, log₂ 8 = 3 i log₂ 16 = 4, etc.

Propietats algebraiques

Artícul principal → Identitats logarítmiques.

En esta part es destaca la capacitat operativa de l'us de logaritmos en el sentit d'operacions coligadas; per mig de logaritmos, una operació es convertix en una atra operació de menor nivell. Per eixemple, un producte de n factors es reduïx a una adició de n sumants.

Certament, les següents proposicions funcionen com a identitats per als valors del seu domini de definició. No obstant, l'èxit de l'invenció i us dels logaritmos, justament, va radicar en poder convertir productes en sumes; cocients en restes; potència en producte i raïl de grau n en un cocient. Este fet permet dir que, en el seu moment, l'us de logaritmos va produir un canvi revolucionari en els càlculs, amprats en l'astronomia, navegació i matemàtica financera aplicada a la banca i els negocis colaterals. Els logaritmos mantenen certes identitats aritmètiques molt útils a l'hora de realisar càlculs:

• El logaritmo d'un producte és igual a la suma dels logaritmos dels factors.

${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$

• El logaritmo d'un cocient és igual a la diferència del logaritmo del numerador menys el logaritmo del denominador.

${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$

• El logaritmo d'una potència és igual al producte entre l'exponent i el logaritmo de la base de la potència.

${\log }_b(x^y)=y{\log }_b(x)$

• El logaritmo d'una raïl és igual al producte entre l'inversa de l'índex i el logaritmo del radicant.

${\log }_b(\sqrt[y]{x})=\frac{{\log }_b(x)}{y}$

En realitat la tercera i quarta identitat són equivalents, sense més que fer:

$\sqrt[y]{x}=x^{\frac{1}{y}}$

Selecció i canvi de base

Entre els logaritmos més utilisats es troba el logaritmo natural, la base del qual és i, base 10 (logaritmo comuna), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinit). L'elecció d'un determinat número com a base dels logaritmos no és crucial, ya que, tots són proporcionals entre sí. És útil la següent fòrmula que definix al logaritmo de x en base b (suponent que b, x, i k són número real positius i que tant b com a k són diferents d'1):

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_k(x)}{{\log }_k(b)}$

en la que k és qualsevol base vàlida. Si fem k=x, obtindrem:

${\log }_b(x)=\frac{1}{{\log }_x(b)}$

El logaritmo més àmpliament utilisat és el natural, ya que té multitut d'aplicacions en física, matemàtiques, ingenieria i en cièncias en general. També és prou utilisat el logaritmo decimal, que s'indica com $\log (x)$, en ciències que fan us de les matemàtiques, com la química en la mida de l'acidea (denominada pH) i en física en magnituts com la mida de la lluminositat (canela), d'intensitat de sò (dB), de l'energia d'un terremot (escala sismológica de Richter), etc. En informàtica s'usa el logaritmo en base 2 la majoria de voltes.

Propietats analítiques

Un estudi més profunt dels logaritmos requerix el concepte de funció. Un eixemple és la funció que produïx la x-ésima potència de b per a qualsevol número real x, a on la base (o raïl) b és un número fix. Esta funció s'escriu com

$f(x)=b^x$

Funció logarítmica

Per a garantisar la definició de logaritmos, és necessari demostrar que per a l'equació exponencial

$b^x=y$

existix una única solució x, assumint que i és positiu i que b és positiu i distint d'1. Una demostració d'este fet requerix del teorema del valor intermig del càlcul elemental. Esta teorema establix que una funció contínua que produïx dos valores m i n també produïx qualsevol valor que es trobe entre m i n. Una funció és contínua si esta no «bota», açò és, si el seu gràfic pot ser escrit sense alçar el llapis del paper.

Esta propietat es pot demostrar que es complix per a la funció Plantilla:Nowrap beginf(x) = b^xPlantilla:Nowrap end. ya que f pren arbitrariamente valors grans positius i valors menuts positius, qualsevol número i > 0 que es troba entre f(x₀) i f(x₁) per a un adequat x₀ i x₁. Per lo tant, la teorema del valor intermig assegura que l'equació f(x) = i té una solució. Més encara, hi ha únicament una solució per a esta equació, ya que la funció f és estrictament creixent (para b > 1), o estrictament decreixent (per a 0 < b < 1).

L'única solució x és el logaritmo de i en la base b, log_b(i). La funció que assigna a cada i la seua logaritmo es diu funció logaritmo o funció logarítmica (o logaritmo a seques).

Funció inversa

The graphs of two functions.

Gràfic de la funció logarítmica log_b(x) (blava) s'obté per mig de reflexió del gràfic de la funció b^x (roja) sobre la llínea diagonal (Plantilla:Nowrap beginx = iPlantilla:Nowrap end).

La fòrmula per al logaritmo d'una potència diu en particular que per a qualsevol número x,

${\log }_b\left(b^x\right)=x{\log }_b(b)=x.$

En llenguage pla, prenent la x-ésima potència de b i després el base-b logaritmo es torna a obtindre x. De modo contrari, donat un número positiu i, la fòrmula

$b^{{\log }_b(y)}=y$

diu que prenent primer el logaritmo i despuix exponenciando es torna a obtindre i. Aixina, les dos maneres possibles de combinar (o compondre) logaritmos i exponencials torna a donar el número original. Per lo tant, el logaritmo en base b és la funció inversa de f(x) = b^x.

Les funcions inverses estan íntimament relacionades en les funcions originals. Els seus gràfics es corresponen l'un en l'atre per mig de l'intercanvi de les coordenades x i i (o per reflexió sobre la llínea diagonal x = i), com es mostra en la figura de la dreta: un punt (t, o = b^t) sobre el gràfic de f proporciona un punt (o, t = log_bo) sobre el gràfic del logaritmo i viceversa.

Creiximent o afluixó de la funció

Com a conseqüència, log_b(x) tendix a $+\mathrm{\infty }$ (es fa més gran que qualsevol número donat) si x s'aproxima a $+\mathrm{\infty }$, sempre que b siga major que 1. En eixe cas, log_b(x) és una funció creixent. Per a b < 1, log_b(x) tendix a $-\mathrm{\infty }$ en lloc d'infinit. Quan x s'aproxima a zero, log_b(x) tendix a menys infinit per a b > 1 (a més infinit quan b < 1, respectivament). En qualsevol cas, i per a tot valor apropiat de la base b, la gràfica de la funció logarítmica curta a l'eix de les abscisses en el punt (1,0).

Derivada i integral indefinida

A graph of the logarithm function and a line touching it in one point.

El gràfic del logaritmo natural (vert) i el seu tangente en x = 1.5 (negre)

Les propietats analítiques de les funcions passen a les seues inverses. Aixina, com Plantilla:Nowrap beginf(x) = b^xPlantilla:Nowrap end és una funció contínua i diferenciable, també ho serà log_b(i). Toscamente parlant, una funció contínua és diferenciable si el seu gràfic no té «traços puntaguts». Més encara, com la derivada de f(x) evaluada en ln(b)b^x per les propietats de la funció exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de log_b(x) és donada per

Açò és, la pendent de la tangente que toca el gràfic del logaritmo en base-b en el punt (x, log_b(x)) és igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) és 1/x, lo que implica que l'integral indefinida d'1/x és ln(x) + C.La derivada en un argument funcional generalisat f(x) és

El cocient del membre dret és denominat derivada logarítmica de f. Calcular f'(x) per mig de la derivada de ln(f(x)) es coneix com diferenciació logarítmica. L'integral indefinida del logaritmo natural ln(x) és:

Fòrmules relacionades, tals com a integrals indefinides de logaritmos en atres bases poden ser obtingudes d'esta equació usant el canvi de bases.

Representació integral del logaritmo natural

A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.

El logaritmo natural de t és l'àrea sombreada baixe el gràfic de la funció f(x) = 1/x (inversa de x).

Artícul principal → Logaritmo natural.

El logaritmo natural de t concorda en l'integral d'1/x dx des d'1 a t:

$\ln (t)=\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{x}dx.$

En atres paraules, ln(t) és igual a l'àrea entre l'eix x i el gràfic de la funció 1/x, recorregut des de Plantilla:Nowrap beginx = 1Plantilla:Nowrap end a Plantilla:Nowrap beginx = tPlantilla:Nowrap end (figura a la dreta). Açò és una conseqüència del teorema fonamental del càlcul i del fet de que la derivada de ln(x) siga 1/x. El membre de la dreta d'esta equació pot servir en una definició per al logaritmo natural. Les fòrmules del producte i potències de logaritmo poden ser obtingudes d'esta definició. Per eixemple, la fòrmula del producte Plantilla:Nowrap beginln(el teu) = ln(t) + ln(o)Plantilla:Nowrap end es deduïx com:

$\ln (tu)=\underset{1}{\overset{tu}{\int }}\frac{1}{x}dx\stackrel{(1)}{=}\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{t}{\overset{tu}{\int }}\frac{1}{x}dx\stackrel{(2)}{=}\ln (t)+\underset{1}{\overset{u}{\int }}\frac{1}{w}dw=\ln (t)+\ln (u).$

L'igualtat (1) descompon l'integral en dos parts, mentres que l'igualtat (2) és un canvi de variable (Plantilla:Nowrap beginw = x/tPlantilla:Nowrap end). En l'ilustració d'avall, la descomposició correspon a dividir l'àrea en les parts blava i groga. Reescalando l'àrea blava de l'esquerra verticalment per mig del factor t i contraent esta pel mateix factor horisontalment no es canvia el seu tamany. Movent-la apropiadament, l'àrea de la gràfica s'ajusta a la funció Plantilla:Nowrap beginf(x) = 1/xPlantilla:Nowrap end de nou. Per lo tant, l'àrea blava del terme esquerre, que és l'integral de f(x) des de t a la teua és la mateixa que la de l'integral des de 1 a o. Açò justifica l'igualtat (2) en una atra demostració geomètrica més.

The hyperbola depicted twice. The area underneath is split into different parts.

Una demostració visual de la fòrmula del producte del logaritmo natural.

La fòrmula de la potència Plantilla:Nowrap beginln(t^r) = r ln(t)Plantilla:Nowrap end pot ser obtinguda de manera similar:

$\ln (t^r)=\underset{1}{\overset{t^r}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{w^r}\left(r{w}^{r-1}dw\right)=r\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{w}dw=r\ln (t).$

La segona igualtat usa els canvis de variable (integració per substitució), Plantilla:Nowrap beginw := x^1/rPlantilla:Nowrap end.

La suma sobre els inversos dels número natural,

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k},$

és cridada série harmònica. Està estretament vinculada al logaritmo natural: quan n tendix a infinit, la diferència,

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n),$

convergix (és dir, s'aproxima arbitrariamente prop) a un número conegut com constant de Euler-Mascheroni. Esta relació ajuda a analisar el rendiment d'algoritmes, com quicksort.

Transcendència del logaritmo

El logaritmo és un eixemple de funció transcendent i des d'un punt de vista teòric, el teorema de Gelfond-Schneider afirma que els logaritmos solen prendre valors «difícils». La declaració formal es basa en la noció de número algebraico, que inclou a tots els número racional, pero també números tals com la raïl quadrada de 2 o

$\sqrt{-5+\sqrt[3]{\frac{3}{13}}}$

Número complejo que no són algebraics són cridats transcendentes; per eixemple, π i i són dos d'eixos números. Casi tots els número complejo són trascendentes. Usant estes nocions, la teorema de Gelfond–Scheider declara que daus dos número algebraico a i b, log_b(a) és, o un número trascendente, o un número racional p / q (en el cas de la qual a^q = b^p, de manera que, per a escomençar, a i b estaven estretament relacionats).

Càlcul

Els logaritmos són fàcils de calcular en alguns casos, tals com Plantilla:Nowrap beginlog₁₀(1000) = 3Plantilla:Nowrap end. En general, els logaritmos poden ser calculats usant series de potències o la mija aritmètic-geomètrica, o ser obtinguts d'una taula de logaritmos precalculada que proporciona una precisió fixada.

El método de Newton, un método iterativo per a resoldre equacions aproximadament, pot ser usat també per a calcular el logaritmo, perque la seua funció inversa, la funció exponencial, pot ser calculada eficientement. Usant taules de referències, métodos com CORDIC poden ser usats per a calcular logaritmos si les úniques operacions disponibles són l'adició i el desplaçament de bits. Més encara, l'algoritme del logaritmo binario calcula lb(x) recursivamente basat en la repetició quadràtica de x, aprofitant la relació

${\log }_2(x^2)=2{\log }_2(x).$

Série de potències

Serie de Taylor

AP

An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.

Serie de Taylor de  ln(z) at z = 1. L'animació mostra les primeres  10 aproximacions junt en les aproximacions 99 i 100.

Per a qualsevol número real z que satisfaça 0 < z < 2, la següent série de potències es complix:

$\ln (z)=(z-1)-\frac{(z-1{)}^2}{2}+\frac{(z-1{)}^3}{3}-\frac{(z-1{)}^4}{4}+\cdots$

Esta és una manera ràpida de dir que ln(z) pot ser aproximat a un valor més i més precís per mig de les següents expressions:

$\begin{array}{ccc}(z-1)& & \\ (z-1)& -& \frac{(z-1{)}^2}{2}& \\ (z-1)& -& \frac{(z-1{)}^2}{2}& +& \frac{(z-1{)}^3}{3}\\ ⋮& \end{array}$

Per eixemple, en z = 1.5 la tercera aproximació obté 0.4167, que és al voltant de 0.011 major que ln(1.5) = 0.405465. Esta série aproxima ln(z) en precisió arbitrària, sempre que el número de sumants siga lo suficientment gran. En càlcul elemental, ln(z) és per tant, el llímit de la série. Esta és la série de Taylor del logaritmo natural en Plantilla:Nowrap beginz = 1Plantilla:Nowrap end. La série de Taylor de ln z proporciona una particular aproximació útil de ln(1+z) quan z és menut, |z| << 1, ya que

$\ln (1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\cdots \approx z.$

Per eixemple, en z = 0,1 el primer orde d'aproximació dona ln(1,1) ≈ 0.1, que és menor del 5 % del valor correcte 0,0953.

Séries més eficients

Una atra série està basada en la funció argument de tangente hiperbòlica:

$\ln (z)=2\cdot \mathrm{artanh}\frac{z-1}{z+1}=2(\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5+\cdots ),$

per a qualsevol número real z > 0. Usant la notació sumatorio esta també pot ser escrita com

$\ln (z)=2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k+1}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^{2k+1}.$

Esta série es pot obtindre de la série de Taylor anterior. Convergix més ràpit que la série de Taylor, especialment si z és propenc a 1. Per eixemple, per a  , els tres primers térmens de la segona série aproximen ln(1,5) en un error de l'entorn de 3×10⁻⁶. La ràpida convergència per a z propenc a 1 pot ser presa com una ventaja de la següent manera.: dona una aproximació de baixa exactitut i ≈ ln(z) i calculant

$A=\frac{z}{\exp (y)},$

el logaritmo de z és:

$\ln (z)=y+\ln (A).$

Quan millor és l'aproximació inicial i, més prop està A d'1, aixina que la seua logaritmo pot ser calculat eficientement. A pot ser calculat usant la série exponencial, que convergix ràpidament sempre que i no siga massa gran. Calculant el logaritmo d'un z major, pot ser reduït a valors més menuts que z per mig de l'escritura z = a · 10^b, aixina que ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

Un método íntimament relacionat pot ser utilisat per a calcular el logaritmo de sancers. De la série anterior, es deduïx que:

$\ln (n+1)=\ln (n)+2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k+1}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^{2k+1}.$

Si el logaritmo d'un sancer gran n és conegut, llavors esta série obté una veloç série convergent per a log(n+1).

Aproximació per mig de mija aritmètic-geomètrica

La mija aritmètic-geomètrica dona aproximacions en gran precisió del logaritmo natural. ln(x) és aproximat en una precisió de 2^−p (o p bits precisos) per mig de la següent fòrmula (donada per Carl Friedrich Gauss):

$\ln (x)\approx \frac{\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}-m\ln (2).$

Ací M denota la mija aritmètic-geomètrica. Es pot obtindre per mig del càlcul repetit de la mija (mija aritmètica) i de la raïl quadrada del producte de dos números (mija geomètrica). Més encara, m és triat tal que

$x{2}^m>2^{p/2}.$

Abdós, mija aritmètic-geomètrica i les constants π i ln(2) poden ser calculades per mig de séries convergents molt ràpides.

Extensions

És possible estendre el concepte de logaritmo més allà dels reals positius.

Número real

Per a sancers b i x, el número ${\log }_b(x)$ és irracional (no pot representar-se com el cocient de dos sancers) si b o x tenen un factor primer que l'atre no té.

El logaritmo natural d'un número real positiu està ben definit i és un número real. No obstant, generalisar el logaritmo natural a número real negatius solament pot fer-se introduint número complejo.

No obstant, de la mateixa manera que succeïx el logaritmo d'número complejo l'elecció de logaritmo d'un número negatiu no és única, encara que l'elecció feta és la més freqüentment usada per a estendre el logaritmo a número real negatius.

Número complejo

Artícul principal → Logaritmo complex.

Archiu:Complex log.jpg

Principal branca del logaritmo complex, Log(z).

El logaritmo natural d'un número complejo z és un atre número complejo b = ln(z) que siga solució de l'equació:

(*) $z=e^b$

L'equació anterior no té solució única. De fet, té un número infinit de solucions, encara que totes elles són fàcils de trobar. Donat un número complejo z escrit en forma polar, una solució possible de l'equació (*) és b₀:

$b_0=\ln \rho +i\theta \text{con}z=\rho e^{i\theta }$

Pot comprovar-se que esta no és l'única solució, sino que per a qualsevol valor $k\in \mathbb{Z}$ resulta que l'número complejo b_k, definit a continuació, també és solució:

$b_k=\ln \rho +i\theta +2\pi ki\Rightarrow e^{b_k}=\rho e^{i\theta }\cdot e^{2\pi ki}=z$

De fet cada valor particular de k definix una superfície de Riemann.

Logaritmo en base imaginària

Artícul principal → Logaritmo en base imaginària.

Un logaritmo en base imaginària és un logaritmo que té com a base i (la unitat imaginària). Este tipo de logaritmos es pot resoldre fàcilment en la fòrmula:

On z és qualsevol número complejo llevat 0. No obstant, cal senyalar que la fòrmula anterior solament és una de les possibles solucions ya que l'equació:

admet no solament la solució donada anteriorment sino que qualsevol x de la forma:

també és solució.

Matrius

Artícul principal → Logaritmo d'una matriu.

Una matriu B és logaritmo d'una matriu donada A si l'exponenciación de B és A:

A diferència de l'exponenciación de matrius, el logaritmo d'una matriu real pugues no estar definit sempre. En el cas d'una matriu diagonalisable és necessari que logaritmo estiga definit per a tots i cada u dels autovalorés o valors propis de la matriu. En eixe cas el logaritmo de la matriu està definit i és logaritmo d'una matriu en autovalores positius és una atra matriu real. Si el 0 és un autovalor de la matriu, llavors la seua logaritmo no està definit.

Si el logaritmo està definit sobre l'espectre o conjunt de autovalores i estos inclouen algun número negatiu, aixina i tot és possible definir una matriu logaritmo (en forma similar a com es definixen els logaritmos de números negatius o complexos), encara que no resulta única.

En el cas d'una matriu no diagonalisable, este procés és més complicat, ya que requerix trobar primer el seu forma canònica de Jordan.

Logaritmo discret

Artícul principal → Logaritmo discret.

Els logaritmos discrets són els anàlecs en teoria de grups dels logaritmos ordinaris. En particular, un logaritmo ordinari log_a(b) és una solució de l'equació a^x = b sobre número real o número complejo. De manera similar, si g i h són elements d'un grup cíclico finito G, llavors una solució x de l'equació g^x = h és cridada logaritmo discret en la base g de h en el grup G.

Si (G,·) és un grup cíclico finito d'orde n, a on · és l'operador multiplicació, si es tria un generador g de G, llavors cada element h de G pot ser escrit com a h = g^k per a algun sancer k, de manera que la funció

${\log }_g:G\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

assigna a cada h la classe d'equivalència mòdul n de k, açò és, tots els k que complixquen que h ≡ g^k mod n.

Este logaritmo té aplicacions en criptografia, en especial en el método d'intercanvi de claus de Diffie-Hellman o en el sistema de ElGamal.

Història

Artícul principal → Història dels logaritmos.

Archiu:John Napier (Neper).jpg

John Napier (Neper), va anar el primer que va definir i va desenrollar els logaritmos.

El método de càlcul per mig de logaritmos va ser propost per primera volta, públicament, per John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en el seu llibre titulat Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemàtic i relojero suís al servici del duc de Hesse-Kassel, va concebre per primera volta els logaritmos; no obstant, va publicar el seu descobriment quatre anys despuix que Napier. L'inicial resistència a l'utilisació de logaritmos va ser canviada per Kepler, per l'entusiasta respal de la seua publicació i l'impecable i clara explicació de cóm funcionaven.

Este método va contribuir a l'alvanç de la ciència, i especialment de l'astronomia, facilitant la resolució de càlculs molt complexos. Els logaritmos varen ser utilisats habitualment en geodèsia, navegació marítima i atres branques de la matemàtica aplicada, abans de l'arribada de les calculadores i computadoras. Ademés de l'utilitat en el càlcul, els logaritmos també varen ocupar un important lloc en les matemàtiques més alvançades; el logaritmo natural presenta una solució per al problema de la quadratura d'un sector hiperbòlic ideat per Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier no va usar una base tal com ara s'entén pero, les seues logaritmos, com a factor d'escala, funcionaven de manera eficaç en base 1/i. Per als propòsits d'interpolació i facilitat de càlcul, eren útils per a trobar la relació r en una série geomètrica tendent a 1. Napier va triar r = 1 - 10⁻⁷ = 0,999999 (Bürgi va elegir r = 1 + 10⁻⁴ = 1,0001). Els logaritmos originals de Napier no tenien log 1 = 0, sino log 10⁷ = 0. Aixina, si N és un número i L és el logaritmo, Napier calcula: N = 10⁷(1 − 10⁻⁷)^L. A on (1 − 10⁻⁷)¹⁰⁷ és aproximadament 1/i, fent L/10⁷ equivalent a log_1/i N/10⁷. Vore logaritmo neperiano.

Inicialment, Napier va cridar «números artificials» als logaritmos i «número natural» als antilogaritmos. Més vesprada, Napier usa la paraula logaritmo en el sentit d'un número que indica una proporció: λόγος (logos) el sentit de proporció, i ἀριθμός (arithmos) significat número, i es definix, lliteralment, com «un número que indica una relació o proporció». Es referix a la proposició que va ser feta per Napier en la seua «teorema fonamental», que establix que la diferència de dos logaritmos determina la relació dels números als quals corresponen, de manera que una progressió aritmètica de logaritmos correspon a una progressió geomètrica de números. El terme antilogaritmo va ser introduït a finals de el XVII i, encara que mai es va utilisar àmpliament en matemàtiques, va perdurar en moltes taules, fins que va caure en desús.

Vore també

• Identitats logarítmiques
• Cologaritmo
• Logaritmo binario
• Logaritmo natural
• Logaritmo neperiano
• Logaritmo decimal
• Logaritmo complex
• Logaritmo en base imaginària
• Logaritmo iterado
• Logaritmo discret
• Logaritmo d'una matriu
• Funció exponencial La funció inversa del logaritmo.
• Neper
• pH
• Decibeli (dB) unitat logarítmica per a expressar la relació entre dos magnituts, acústiques o elèctriques.
• Escala logarítmica

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Logaritmo.
• Logaritmo en MathWorld.
• Història dels logaritmos per Francisco Javier Tàpia Moreno