Logaritmo iterado

Archiu:Iterated logarithm.png

Gràfic del logaritmo iterado.

El terme logaritmo iterado es referix, en térmens matemàtics, a una funció definida per l'aplicació repetida (iterada) de la funció logaritmo sobre el seu argument. Aixina, pot ser descrita com el número de voltes que és necessari aplicar logaritmo per a obtindre un valor d'u (1), o menor.

Definició

La funció de logaritmo iterado, denotada com log*(x) (o les formes ln*(x), lg*(x), log*[b](x), quan no es puga discernir la base en el context), pot ser definida recursivamente com:

${\log }^{\star }:ℝ\to {\mathbb{N}}_0$

${\log }^{\star }(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }x\le 1\\ 1+{\log }^{\star }(\log x),& \text{si }x>1\end{array}$

a on ${\mathbb{N}}_0$ és el conjunt dels número natural, més el zero, és dir: $\mathbb{N}\cup \{0\}$ (ací s'ha considerat que els naturals no inclouen el zero, encara que la tendència més recent, unida a l'us en informàtica, dispon lo contrari).

Propietats

Esta funció és monòtonament no-decreixent, en taxa decreixent. És dir, el valor de ${\log }^{\star }(x+1)$ és sempre igual o major que el valor de ${\log }^{\star }(x)$.

Una característica peculiar de lg* és que esta funció és de molt llent creiximent. Mentres que lg*(1) = 1, i per a un argument en les centenes el logaritmo iterado podria tornar valors de 3 o 4, per a un número tan gran com $2^{2^{16}}=2^{65536}$, que és molt més que el número de partícules de matèria estimats en l'Univers observable, a penes si alcança valors de 6 o 7.

Per a efectes pràctics en considerar valors de x, ${\log }^{\star }(x)$ pot considerar-se una constant.

La notació especial ${\ln }^{\star }(x)$ és usada per a el "logaritmo natural iterado" (el logaritmo aplicat usant base $e$). La notació especial ${\lg }^{\star }(x)$ és usada en el context de l'informàtica per a "logaritmo binario iterado", que itera la funció logaritmo en base dos (molt comuna en l'àrea de l'informàtica).

Expressions fent us de logaritmo iterado apareixen en anàlisis d'algoritmes com per eixemple la triangulació de Delaunay, i en algoritmes relacionats en grafos i arbres.

Vore també

• Logaritmo
• Logaritmo natural
• Hiperoperación
• Tetración