Logaritmo en base imaginària

Un logaritmo en base imaginària és un logaritmo que té com a base un número complejo , a +bi. Es va a tractar el cas elemental , per a i l'unitat imaginària.A pesar de que calcular este tipo de logaritmos no siga una tasca intuïtiva, es pot generalisar l'operació de logaritmo de base imaginària per mig de la fòrmula següent:^{cita requerida}

On z és qualsevol número complejo llevat 0.

Demostració de la fòrmula

A partir de la fòrmula de Euler, sabem que:

Aplicant logaritmo natural en abdós membres resulta:

Canviant la base queda demostrat que:

Convé senyalar que la definició anterior és en cert sentit convencional ya que el logaritmo tal com s'ha definit anteriorment no és l'única elecció possible, ya que de partida es té:

I per tant cabrien definicions alternatives com:

Múltiples de bases i

Si la base és un múltiple de i, la fòrmula pot ser generalisada aixina:

${\log }_{ki}(z)=\frac{2\ln (z)}{i\pi +2\ln (k)}.$

On k és qualsevol número real.

Açò pot ser demostrat com:

${\log }_{ki}(z)=\frac{\ln (z)}{\ln (ki)}=\frac{\ln (z)}{\ln (i)+\ln (k)}=\frac{\ln (z)}{\frac{i\pi }{2}+\ln (k)}=\frac{\ln (z)}{\frac{i\pi +2\ln (k)}{2}}=\frac{2\ln (z)}{i\pi +2\ln (k)}.$

Vore també

• Número imaginario
• Número complejo
• Fòrmula de Euler
• Logaritmo