Constant de Euler-Mascheroni

La Constant de Euler-Mascheroni (també coneguda com a constant de Mascheroni) és una constant matemàtica que apareix principalment en teoria de números i es denota en la lletra grega minúscula gamma $(\gamma )$.

Està definit com el llímit de la diferència entre la série harmònica i el logaritmo natural

$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (1+\frac{1}{k})]\\ & =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx\end{array}$

a on $\lfloor x\rfloor$ denota la funció partix sancera.

El seu valor aproximat és

$\gamma =0.57721566490153286060651209008240243104215933593992\dots$

No deu confondre's en el número i, també cridat número de Euler.

Història

La constant va aparéixer per primera volta, en 1734, en un artícul escrit pel matemàtic suís Leonhard Euler, cridat De Progressionibus harmonicis observationes, calculant els 6 primers dígits per a la constant i cridant-la C. En 1781 calcularia atres 10 decimals més. En 1790, Lorenzo Mascheroni calcularia els primers 19 decimals i la denotaria com A. Ya més vesprada es denotaria de la forma moderna com γ, per la seua conexió en la funció gamma.

Propietats

El número $\gamma$ no s'ha provat que siga algebraic o transcendent, de fet, ni tan sols es coneix si $\gamma$ és irracional o no. L'anàlisis de fraccions contínues revela que, de ser racional, el seu denominador deu ser molt elevat (actualment de l'orde de 10²⁴²⁰⁸⁰). Degut a que està present en un gran número d'equacions i relacions, la racionalitat o irracionalitat de γ està entre els problemes oberts més importants de matemàtiques.

A continuació s'exponen les més importants relacions de γ en funcions, séries i integrals.

Representació original (Euler)

Descoberta en 1734 per Euler, representant-la com una série infinita de la següent forma:

$\gamma =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{k}-\ln (1+\frac{1}{k})]$

Relació en la funció Gamma

$\gamma$ està relacionada en la funció digamma $\Psi$ i per lo tant en la derivada de la funció gamma $\Gamma$, quan abdós funcions estan evaluades en $1$, açò és

$-\gamma ={\Gamma }^{\prime }(1)=\Psi (1)$

i açò és igual al llímit:

$\begin{array}{cc}-\gamma & =\underset{z\to 0}{\lim }(\Gamma (z)-\frac{1}{z})\\ & =\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\Psi (z)+\frac{1}{z})\end{array}$

atres llímits són

$\begin{array}{cc}\underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{z}(\frac{1}{\Gamma (1+z)}-\frac{1}{\Gamma (1-z)})& =2\gamma \\ \underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{z}(\frac{1}{\Psi (1-z)}-\frac{1}{\Psi (1+z)})& =\frac{{\pi }^2}{3{\gamma }^2}\end{array}$

Un llímit relacionat en la funció beta (expressada en térmens de la funció gamma) és:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\Gamma (n+1)n^{1+\frac{1}{n}}}{\Gamma (2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^2}{n+1})\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{(-1{)}^k}{k}\ln (\Gamma (k+1))\end{array}$

i com a funció beta:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(n^{2+\frac{1}{n}}\mathrm{B}(1+\frac{1}{n},n+1)-\frac{n^2}{n+1})$

Relació en la funció Zeta de Riemann

$\gamma$ també pot ser expressada com suma infinita, els térmens de la qual invoquen la funció zeta de Riemann evaluada en números positius:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k\zeta (k)}{k}\\ & =\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k\zeta (k)}{2^{k-1}k}\\ & =\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}\zeta (k+1)}{2^k(k+1)}\end{array}$

Atres séries relacionades en la funció zeta són:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\frac{3}{2}-\ln 2-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\left(\frac{k-1}{k}\right)[\zeta (k)-1]\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{2n-1}{2n}-\ln n+\sum _{k=2}^n(\frac{1}{k}-\frac{\zeta (1-k)}{n^k})]\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{2^n}{e^{2^n}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{kn}}{(k+1)!}\sum _{t=0}^k\frac{1}{t+1}-n\log 2+𝒪\left(\frac{1}{2^n{e}^{2^n}}\right)]\end{array}$

El terme error de l'última série decreix exponencialment en funció de n. Com a resultat, la fòrmula resulta molt eficient per a calcular grans cantitats de dígits de la constant en gran precisió.

Un atre interessants llímits relacionat en la constant de Euler-Mascheroni i la funció zeta és el llímit antisimètric (Sondow, 1998)

$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{s\to 1^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n})\\ & =\underset{s\to 1}{\lim }(\zeta (s)-\frac{1}{s-1})\\ & =\underset{s\to 0}{\lim }\frac{\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}\end{array}$

i

$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(\lceil \frac{n}{k}\rceil -\frac{n}{k})\end{array}$

Representació en integrals

$\gamma$ és igual al valor d'un número determinat d'integralés definides:

$\begin{array}{cc}\gamma & =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\ln xdx\\ & =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln (\ln \left(\frac{1}{x}\right))dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x{e}^x})dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x})dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x}(\frac{1}{1+x^k}-e^{-x})dxk>0\\ & =2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x^2}-e^{-x}}{x}dx\end{array}$

Entre les integrals definides en les quals apareix $\gamma$ s'inclouen

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\ln xdx& =-\frac{(\gamma +2\ln 2)\sqrt{\pi }}{4}\\ \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{\ln }^2(x)dx& ={\gamma }^2+\frac{{\pi }^2}{6}\end{array}$

Un pot expressar a $\gamma$ com una integral doble (Sondow 2003, 2005), en la seua série equivalent és:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-1}{(1-xy)\ln (xy)}dxdy\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\ln \frac{n+1}{n})\end{array}$

Representació en séries

A banda de la série original de Euler (mostrada dalt), es coneixen atres séries entre les que s'inclouen:

$\gamma =1-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\lfloor {\log }_{2}k\rfloor }{k+1}$

trobada per Nielsen en 1897. En 1912 Vacca va trobar la següent série relacionada en γ.

$\gamma =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\lfloor {\log }_{2}k\rfloor }{k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+2(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+3(\frac{1}{8}-\dots -\frac{1}{15})+\dots$

a on log₂ és el logaritmo en base 2 i $\lfloor \rfloor$ la funció part sancera.

En 1926, Vacca va trobar una atra série similar a l'anterior:

$\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k\lfloor \sqrt{k}{\rfloor }^2}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}(\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{8})+\frac{1}{9}(\frac{1}{9}+\dots +\frac{1}{15})+\dots$

o escrit com

$\gamma =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{k-\lfloor \sqrt{k}{\rfloor }^2}{k^2\lfloor \sqrt{k}{\rfloor }^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3^2}+\frac{1}{2^2}(\frac{1}{5^2}+\frac{2}{6^2}+\frac{3}{7^2}+\frac{4}{8^2})+\frac{1}{3^2}(\frac{1}{10^2}+\dots +\frac{6}{15^2})+\dots$ (Krämer, 2005)

Estes dos últimes séries poden ser obtingudes per mig de la manipulació de l'Integral de Català (vore Sondow i Zudilin)

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2^n-1}dx$

Srinivasa Ramanujan, en el seu quadern perdut va donar una série que s'aproxima a γ:

$\gamma =\log 2-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}2n\sum _{k=\frac{3^{n-1}+1}{2}}^{\frac{3^n-1}{2}}\frac{1}{(3k{)}^3-3k}$

Representació en forma de fracció contínua

La representació en forma de fracció contínua és:

$\gamma =0+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{\ddots }}}}}$

més concretament

$\gamma =[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,\mathrm{...}]$ Plantilla:OEIS.

Referències

• Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150-161. Reprinted in Opera Omnia: Séries 1, Volume 14, pp. 87 - 100
• Derives γ as sums over Riemann zeta functions. (en anglés)
• (en anglés)
• Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4 (en anglés)
• Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen. (alemà)
• Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220. (en anglés)
• ------ (2002) Gourdon, Xavier, and Sebah, P."Collection of formules for Euler's constant, γ." (en anglés)
• ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin. (en anglés)
• ------ (2003) "An infinite product for i^γ via hypergeometric formules for Euler's constant, γ." (en anglés)
• ------ (2003a) ""Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344. (en anglés)
• ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65. (en anglés)
• ------ (2005) "New Vacca-type rational séries for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π." (en anglés)
• ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formules of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.