Fracció contínua

En matemàtiques, una fracció contínua, nomenada també fracció continuada (per influix del ingl. continued fraction), és una expressió de la forma

$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots +\frac{1}{a_n}}}}$

o be de la forma

$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots }}}$,

a on $a_0$ és un sancer i $a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$ són sancers positius. En el primer cas, es denomina fracció contínua finita; en el segon cas, fracció contínua infinita. En el cas finito, els números $a_1,\dots ,a_n$ es diuen cocients incomplets. Si es permet que els numeradors o els denominadors parcials prenguen valors arbitraris, que podrien ser funcions en algun context, l'expressió resultant és una fracció contínua generalisada. Quan fora necessari distinguir la forma típica de dalt d'una generalisada aquella es denominarà fracció contínua regular o simple.

Motivació

El motiu de l'estudi de les fraccions contínues és el desig de donar una representació «matemàticament pura» dels número real.

Estem familiarizados en la representació decimal:

$r=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{i}10^{-i}$

a on a₀ pot ser qualsevol sancer i els atres a_i pertanyen a {0, 1, 2, …, 9}. Aixina el número $\pi$, per eixemple, es representa en la successió (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, …).

Esta representació té alguns problemes. Per eixemple, la constant 10 s'usa perque els càlculs es fan en el sistema decimal; be podria usar-se l'octal o el binario. Un atre problema és que molts racionals no tenen representació finita; per eixemple, 1/3 ho fa en la llista infinita de 3 en les posicions decimals (0,333…).

La representació en fracció contínua dels número real evita abdós problemes. Per eixemple, considerem el número 415/93, que val aproximadament 4.4624. Açò és aproximadament 4, pero és alguna cosa major que 4, sobre 4+1/2. Pero el denominador 2 no és correcte; ho seria un alguna cosa major, sobre 2+1/6, ya que 415/93 és aproximadament 4+1/(2+1/6). Pero el denominador 6 no és correcte; ho seria un alguna cosa major, sobre 4+1/(2+1/(6+1/7)). Açò és exacte. Llevant les parts redundantes de l'expressió 4+1/(2+1/(6+1/7)), s'obté la seua notació abreviada [4; 2, 6, 7].

Aixina, pot representar-se en fracció contínua qualsevol número real, i es complixen estes propietats:

• La representació en fracció contínua d'un número real és finita si i solament si eixe número és racional.
• La representació en fracció contínua d'un racional «simple» és generalment curta.
• La representació en fracció contínua d'un racional és única sempre que no acabe en 1. (de fet: [a₀; a₁,... a_n, 1] = [a₀; a₁,... a_n + 1].)
• Els térmens d'una fracció contínua es repetiran si i solament si representa a un irracional quadràtic, és dir, si és solució d'una equació quadràtica en coeficients sancers. Per eixemple, la fracció contínua [1; 1, 1,... ] representa al número áureo i [1; 2, 2, 2, … ] a $\sqrt{2}$.
• El truncat de la representació en fracció contínua d'un número x dona una aproximació racional que és, en cert sentit, la «millor possible» (vegen-se les teoremes 6 i 7, més avall, per a una formalisació d'este aserto).

L'última propietat, falsa si ampràrem la representació convencional, és molt important. Si trunquem una representació decimal, obtenim una aproximació racional, pero habitualment no la millor. Per eixemple, truncant 1/7=0.142857… en varis llocs obtindrem aproximacions com 142/1000, 14/100 o 1/10. Pero és clar que el millor racional que aproxima a 1/7 és el propi 1/7. Si trunquem la representació decimal de π obtindrem aproximacions com 31415/10000 o 314/100. La representació en fracció contínua de π comença en [3; 7, 15, 1, 292,.. ]. Si trunquem esta representació obtindrem les excelents aproximacions: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, … Els denominadors de 314/100 i 333/106 són casi iguals pero l'error en l'aproximació de 314/100 és nou voltes major que el de 333/106, aixina com l'aproximació a π en [3; 7, 15, 1] és 100 voltes més precisa que 3.1416.

Apunts històrics

Les fraccions contínues s'utilisen des d'antic. Aryabhata (476-550) les va usar per a resoldre equacions diofánticas, aixina com per a donar aproximacions precises d'número irracional. Brahmagupta (598-668) va profundisar en l'estudi de les equacions anomenades hui de Pell. Va desenrollar els fonaments del método chakravala, usant càlculs semblats als de les fraccions contínues. Va investigar la resolució de l'equació $x^2-61y^2=1$, trobant la menor solució: x = 1 766 319 049, i = 226 153 980.

En el sigle XII, el método va ser millorat per Bhaskara II. Un algoritme, anàlec al de les fraccions contínues, va permetre resoldre un cas general. La diferència més notable era que admetia números negatius en la fracció, accelerant la convergència.

L'aparició en Europa va ser posterior i italiana. Rafael Bombelli (1526-1572) va usar un antecessor de les fraccions contínues per a calcular aproximacions de la raïl quadrada de 13. Pietro Antonio Cataldi (1548-1626) es va donar conte de que el método de Bombelli valia per a totes les raïls quadrades; ho va utilisar per a la de 18 i va escriure un opúsculo sobre este assunt. Va remarcar que les aproximacions obtingudes són alternativament superiors i inferiors a la raïl quadrada buscada.

En Anglaterra va haver un progrés decisiu. El 3 de giner de 1657, Pierre de Fermat va desafiar als matemàtics europeus en varis problemes, entre els que estava l'equació ya resolta per Brahmagupta. La resposta anglesa va ser ràpida. William Brouncker (1620-1684) va trobar la relació entre l'equació i la fracció contínua, aixina com un método algorítmic equivalent al dels hindús per al càlcul de la solució. Va utilisar una fracció contínua per a construir una successió que convergia a $4/\pi$, i va aproximar $\pi$ en 10 decimals significatius. Estos resultats varen ser publicats per John Wallis, que va aprofitar per a demostrar les relacions de recurrencia utilisades per Brouncker i Baskara II. Va donar, ademés, el nom de fracció contínua en la frase: «Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat continue fractum». En esta época, Christiaan Huygens (1629-1695) va descobrir que les fraccions contínues són la ferramenta ideal per a determinar el número de dents que deuen tindre les rodes d'engranages d'un rellonge. Les va utilisar per a la construcció d'un autómata planetari.

En el sigle següent es resolen algunes qüestions teòriques. L'us va mostrar que l'algoritme de les fraccions contínues permetia resoldre l'equació de Pell utilisant el fet de que la fracció és periòdica a partir d'un punt. Leonhard Euler (1707-1783) va demostrar que, si un número té una fracció contínua periòdica, llavors és solució d'una equació de segon grau en coeficients sancers. El recíproc, més sotil, és obra de Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813) . Johann Heinrich Lambert (1728-1777) va trobar una nova utilitat de les fraccions contínues: les va usar per a demostrar l'irracionalitat de $\pi$.

Esta utilisació va vindre a ser freqüent durant el sigle XIX. Évariste Galois va trobar una condició necessària i suficient per a que una fracció contínua siga immediatament periòdica. Joseph Liouville (1809-1882) va utilisar el desenroll en fracció contínua generalisat per a construir els primers eixemples de número trascendente: els números de Liouville. Charles Hermite (1822-1901) va establir nous métodos per a demostrar la transcendència de $e$, base del logaritmo neperiano. Estos són represos per Ferdinand von Lindemann que va demostrar en 1882 que $\pi$ és transcendent en el corolari de l'impossibilitat de la quadratura del círcul. Georg Cantor (1845-1918) va demostrar que els punts d'un segment poden posar-se en biyección en els de l'interior d'un quadrat en l'ajuda de fraccions contínues. El sigle XX va vore l'explosió d'un gran número de publicacions sobre este assunt. Més de 1500 matemàtics han trobat elements dignes de publicació.