Equació diofántica

Archiu:Rtriangle.svg

Equació diofántica

Archiu:Diophantus-cover-Fermat.jpg

Edició de 1670 de la Aritmètica de Diofanto.

Es diu equació diofántica o equació diofantina a qualsevol equació algebraica, de dos o més incògnites, els coeficients de la qual recorren el conjunt dels número entero, de les que es busquen solucions sanceres o naturals, açò és, que pertanyguen al conjunt dels número entero. Un tipo particular de dites equacions són les equacions diofánticas llineals en dos incògnites, les quals tenen la forma $ax+by=c$.

Una condició necessària i suficient per a que $ax+by=c$ en $a,b,c$ pertanyent als sancers, tinga solució, és que el màxim comú divisor de $a$ i $b$ dividixca a $c$.

La paraula Diofantino fa referència al matemàtic helenístico de el III, Diofanto d'Aleixandria, que va realisar un estudi de tals equacions i va ser un dels primers matemàtics en introduir el simbolisme en l'àlgebra. L'estudi matemàtic dels problemes diofánticos que va iniciar Diofanto es denomina actualment anàlisis diofántico'.

Eixemples

Un eixemple d'equació diofántica és: $x+y=5$.

Esta equació té infinites solucions en els número real. Com a regla general, no obstant, les equacions que apareixen en els problemes tenen restriccions que nos ajuden a llimitar-nos a un chicotet número de casos i inclús a una única solució.

Per eixemple, en la nostra equació, si restringim els possibles valors de $x$ i $y$ als sancers positius, tenim 4 solucions per a $(x,y)$: $(1,4)\vee (2,3)\vee (3,2)\vee (4,1)$.

Un problema matemàtic molt famós que es resol per mig d'equacions diofánticas és el del mona i els cocos.

En les equacions diofánticas següents, $w,x,y$, i $z$ són les incògnites i les atres lletres són constants conegudes:

Alguns casos interessants

Forma de l'equació	Comentaris
$ax+by=c$	Esta és l'equació diofantina llineal o identitat de Bézout.
$w^3+x^3=y^3+z^3$	La solució notrivial més chicoteta en el conjunt dels número entero positius és 123 + 13 = 93 + 103 = 1729. Va ser enunciada com una propietat evident en 1729, un Número taxicab (també denominat Número de Hardy-Ramanujan) per Ramanujan a Hardy durant una reunió en 1917. Existix un número infinit de solucions notriviales.
$x^n+y^n=z^n$	Per a n = 2 hi ha infinites solucions (x, i, z): la terna pitagórico. Per a valors sancers majors de n, L'última teorema de Fermat (afirmat inicialment en 1637 per Fermat i demostrat per Andrew Wiles en 1995) afirma que no hi ha solucions sanceres positives (x, i, z).
$x^2-n{y}^2=\pm 1$	Esta és l'equació de Pell, que rep el seu nom del matemàtic anglés John Pell. Va ser estudiada per Brahmagupta en el VII, aixina com per Fermat en el XVII.
$\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$	La conjectura de Erdos-Straus afirma que, per a cada sancer positiu n ≥ 2, existix una solució en x, i, i z, tots com a sancers positius. Encara que no sol enunciar-se en forma polinòmica, este eixemple és equivalent a l'equació polinòmica $4xyz=yzn+xzn+xyn=n(yz+xz+xy).$
$x^4+y^4+z^4=w^4$	Conjeturado incorrectament per Euler de que no posseïx solucions no trivials. Elkies va demostrar que posseïx un número infinit de solucions no trivials, i una busca per mig d'ordenador realisada per Frye va determinar la solució no trivial més menuda, 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814.

Equació diofántica llineal

L'equació diofántica $Ax+By=C$ o identitat de Bézout té solució si i solament si $d=\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{d}(A,B)$ (màxim comú divisor) és un divisor de C. En eixe cas l'equació té una infinitat de solucions.

Similarment l'equació $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n=C$ té solució si i solament si $d=\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{d}(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ és un divisor de $C$.

Solució general

Supongam l'equació diofántica $Ax+By=C$. Solament té solució si $\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{d}(A,B)=d|C$. Per a buscar $\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{d}(A,B)$ amprem l'algoritme de Euclides. Si una equació diofántica té solució, necessàriament té infinites solucions i totes són de la forma:

A on $d=\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{d}(A,B)$, $\lambda \in \mathbb{Z}$ i $x_1$ i $y_1$ són una solució particular de l'equació.

Esta solució per a número entero contrasta en la solució de la mateixa equació quan es considera que $A,B,C,x,y$ són número real, que està formada per infinites solucions de la forma: $y=\frac{C-Ax}{B}$ (suponent $B\ne 0$).

Solució particular

Per a trobar una solució particular usem l'identitat de Bézout junt al algoritme de Euclides. Açò nos dona $x_1$ i $y_1$. Vejam l'eixemple:

Tenim l'equació diofántica $6x+10y=104$

1. Busquem el d = mcd(6, 10). A través de l'algoritme de Euclides trobem que $d=2$.
2. Com $d|C$ (a on "$|$" significa "dividix a"), és dir, $2|104$, calculem una solució particular per mig de l'Identitat de Bézout: $x_1=2$ i $y_1=-1$. L'equació quedaria aixina: $6\cdot 2+10\cdot (-1)=2$.
3. Ara tenim una solució per a l'equació $6x+10y=2$. En $x_1=2$ i $y_1=-1$. Si multipliquem cada part de l'equació per $\frac{C}{d}=\frac{104}{2}=52$, tindrem la solució particular de la nostra equació original $6x+10y=104$. L'equació quedaria aixina: $6\cdot 2\cdot 52+10\cdot (-1)\cdot 52=104$.
4. En lo que hem vist dalt, busquem la solució general:

Solució per aritmètica modular

Supongam la següent equació diofántica: $3x+7y=1$

1. Convertim l'equació en congruència, llavors quedaria:

$3x\equiv 1(\mathrm{mod}7)$

2. Li vàrem sumar o restem el mòdul al residu, en este cas $1$; de manera que el residu puga ser divisible entre $3x$:

$3x\equiv 15(\mathrm{mod}7)$

En este cas li vàrem sumar 2•7.

3. Ya que ara sí es pot dividir, fem lo següent:

$3x÷3\equiv 15÷3(\mathrm{mod}7)$

4. Ara convertim la congruència en equació:

$x=7n+5,n\in \mathbb{Z}\therefore x=5$

$x$ sempre serà igual al residu (en este eixemple: +5), degut a que és el menor valor possible de $x$

Ya que sabem que $x=5$, podem trobar el valor de $y$ resolent l'equació llineal restant:

$3(5)+7y=1$

$7y÷7=-14÷7$

Llavors tenim que $y=-2$. Podem verificar que els valors sí complixen l'equació:

$3(5)+7(-2)=1$

$15-14=1$

$1=1$

Vore també

• Teoria de números
• Dècim problema de Hilbert
• Aritmètica modular

Bibliografia

• Mordell (1969). Diophantine equations, Academic Press. ISBN 0-12-506250-8.
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Diophantine approximations and Diophantine equations, Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X.
• (1986) Exponential Diophantine equations, Cambridge University Press. ISBN 0-521-26826-5.
• Smart, Nigel P. (1998). The algorithmic resolution of Diophantine equations, Cambridge University Press. ISBN 0-521-64156-X.
• (2004) Mathematics and its History, Second Edition edició, Springer Science + Business Media Inc.. ISBN 0-387-95336-1.