Problema de la mona i els cocos

El problema de la mona i els cocos és un problema d'àlgebra recreativa en la resolució de la qual s'ampren típicament equacions diofánticas.

Enunciat

L'enunciat d'este problema és el següent: Cinc hòmens i una mona naufraguen en una illa deserta. Els hòmens passen tot el primer dia arreplegant cocos. De nit, un d'ells desperta i, desconfiat, decidix separar la seua part. Dividix els cocos en cinc montons, pren la seua part i, com sobra un coco, li'l dona a la mona. Poc despuix, un segon nàufrec es desperta i fa lo mateix. En dividir els cocos en cinc montons, torna a sobrar un coco i també li'l dona a la mona. Un darrere l'atre, el tercer, quarto i quint nàufrecs fan lo mateix. Al sendemà de matí, dividixen els cocos en cinc montons sense que sobre cap. ¿Quànts s'havien recolectat inicialment?

Una variació d'este plantejament és que en el repartiment final sobra un coco en lloc de no sobrar cap.

Plantejament

El plantejament algebraic del problema és de relativa senzillea. Representant per X_i {i = 1...5} al número de cocos que pren cada u dels nàufrecs i X₆ el total de les existències, s'origina el següent sistema d'equacions:

$\left\{\begin{array}{ccc}{X}_6& =& 5X_1+1\\ 4X_1& =& 5X_2+1\\ 4X_2& =& 5X_3+1\\ 4X_3& =& 5X_4+1\\ 4X_4& =& 5X_5+1\end{array}\right|⟶\{\begin{array}{cccccccc}-5X_1& & & & & +X_6& =& 1\\ 4X_1& -5X_2& & & & & =& 1\\ & 4X_2& -5X_3& & & & =& 1\\ & & 4X_3& -5X_4& & & =& 1\\ & & & 4X_4& -5X_5& & =& 1\end{array}$

En les restriccions adicionals:

Per a tot X_i Sancer; per a tot X_i > 0

Obligant a que el número de cocos ha d'estar expressat per un número natural.

El sistema anterior constituïx un clar eixemple d'equacions diofánticas para les que no es coneix un algoritme de resolució sistemàtica. No obstant, és de relativa senzillea per mig de procediments informàtics usuals.

Referències

• (1987) «The Monkey and the Coconuts», The Second Scientific American Book of Mathematical Puzles and Diversions (en anglés), Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-28253-8.