Problemes de Hilbert

Archiu:Hilbert.jpg

David Hilbert

Els problemes de Hilbert conformen una llista de 23 problemes matemàtics compilada pel matemàtic alemà David Hilbert per a la conferència en París del Congrés Internacional de Matemàtics de 1900. Els problemes estaven tots per resoldre en aquell moment, i varis resultarien ser molt influents en la matemàtica de el XX. Hilbert va presentar dèu dels problemes (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 i 22) en la conferència, en un acte el 8 d'agost en La Sorbona. La llista completa es va publicar més alvance.

Naturalea i influència dels problemes

Encara que s'han produït intents de repetir l'èxit de la llista de Hilbert, cap atre conjunt tan variat de problemes o conjecturas ha tingut un efecte comparable en el desenroll del tema i obtingut una fracció important de la seua celebritat. Per eixemple, les conjectura d'André Weil són famoses pero varen ser poc publicitadas. Potser el seu propi temperament va evitar que ell intentara posar-se en posició de competir en Hilbert. John von Neumann va produir una llista, pero no va obtindre reconeiximent universal.

A primera vista, este èxit podria atribuir-se a l'eminència de l'autor dels problemes. Hilbert estava en el cim del seu poder i reputació en aquell moment i va continuar dirigint la sobreixent escola de matemàtica en l'Universitat de Gotinga. Un examen més cuidadós revela que l'assunt no és tan simple.

La matemàtica d'aquell temps era encara discursiva: la tendència a substituir paraules per símbols i apelacions a l'intuïció i conceptes per mig d'axiomàtica pura seguia subyugada, encara que es tornaria forta durant la següent generació. En 1900, Hilbert no va poder acodir a la teoria axiomàtica de conjunts, l'integral de Lebesgue, els espais topològics o la tesis de Church, que canviarien els seus respectius camps de forma permanent. l'anàlisis funcional, fundat en cert modo pel propi Hilbert com a noció central dels testics del espai de Hilbert, no s'havia diferenciat encara del càlcul de variacions; hi ha en la llista de problemes de matemàtica variacional, pero res, com podria assumir-se inocentment, sobre teoria espectral (el problema 19 té una conexió en la hipoelipticidad).

La llista no va ser predictiva en eixe sentit: no va conseguir plasmar o anticipar el fulgurant ascens que experimentarien la topología, la teoria de grups i la teoria de la mida en el XX, aixina com no va prevore la manera en que anava a alvançar la llògica matemàtica. Per tant, el seu valor documental és el de ensaig: una visió parcial, personal. Sugerix alguns programes d'investigació i algunes direccions per seguir sense fi concret.

De fet, moltes de les preguntes donaven una falsa idea del matemàtic professional de el XIX, o inclús de 1950, en que la forma d'una solució a una bona pregunta prendria la forma d'un artícul publicat en una publicació matemàtica. Si este fòra el cas de tots els vintitrés problemes, s'hauria simplificat el comentari fins al punt de poder donar una referència a una revista, o considera la pregunta com oberta encara. En alguns casos el llenguage usat per Hilbert se seguix considerant un tant "negociable", sobre el significat real de la formulació del problema (en absència, repetim, de fonaments axiomàtics, basats en matemàtica pura, escomençant en el propi treball de Hilbert sobre geometria euclidiana, passant pel Principia Mathematica, i terminant en el grup Bourbaki i el "terrorisme intelectual" per a terminar el treball). Els problemes Primer i Quint es troben, potser sorprenentment, en un estat de formulació d'una claritat menys que total (vegen-se les notes). En casos com el Vigèsim, el problema es podria llegir de forma raonable en una versió "interna", relativament accessible, en la que el llector pot saber a qué estava apuntant Hilbert; o com una penombra "externa" i especulativa.

Dit tot açò, per tant, la raó més important és la gran rapidea en la que va acceptar la llista de Hilbert la comunitat matemàtica d'aquell moment (la qual cosa és una fòrmula menys convencional que ara, ya que per llavors hi havia pocs líders investigadors, que generalment es trobaven en uns pocs països europeus i es coneixien tots entre ells). Els problemes es varen estudiar en gran atenció; resoldre un va llaurar reputació.

L'estil va ser a lo manco tan influent com el contingut dels problemes. Hilbert solicitava clarificaciones. Va demanar solucions en principi a preguntes algorítmiques, no a algoritmes pràctics. Va demanar un enfortiment dels fonaments de parts de la matemàtica que als no practicants encara es antojaban guiades per intuïcions opaques (el càlcul de Schubert i la geometria enumerativa).

Estes actituts varen ser adoptades per molts seguidors, encara que també varen ser discutides, i continuen sent-ho. Trenta anys despuix, Hilbert havia endurit la seua postura: vore ignorabimus.

Els problemes com a manifest de Hilbert

Està prou clar que la llista de problemes, i la seua forma de discussió, estaven pensades per a ser influents. Hilbert no va fallar a les expectatives de l'acadèmia Alemana sobre construcció d'imperis, verp programàtic, i establiment explícit d'una direcció i reclam de territori per a una escola. Ningú parla ya de la 'escola de Hilbert' en eixos térmens; ni varen gojar els problemes de Hilbert del seu moment com si va fer el programa de Erlangen de Felix Klein. Klein va ser colega de Hilbert, i en comparació la llista d'este últim era molt manco prescriptiva. Michael Atiyah ha caracterisat el programa de Erlangen com a prematur. Els problemes de Hilbert, pel contrari, varen mostrar la capacitat de l'expert de buscar el moment adequat.

Si la 'escola de Hilbert' té un significat, possiblement es referixca a la teoria d'operadors i a l'estil de la física teòrica que va prendre els volums Hilbert-Courant com a canònics. Com es va senyalar abans, la llista no establix directament problemes sobre teoria espectral. Tampoc li va donar rellevància al àlgebra conmutativa (llavors li la coneixia com teoria d'ideals), la seua contribució algebraica més important i major preocupació en els seus dies de la teoria de invariantes; la qual cosa, podria dir-se, hauria estat més en la llínea de Klein. Ni, a lo manco superficialment, va predicar contra Leopold Kronecker, l'oponent de Georg Cantor, del que havia deprés molt pero les actituts del qual casi detestava (com queda documentat en la biografia de Constance Reid). El llector podria extraure àmplies conclusions de la presència de la teoria de conjunts en cap en la llista.

La teoria de funcions de variable complexa, la branca del anàlisis clàssic que tot matemàtic pur deuria conéixer, està prou oblidada: ni la conjectura de Bieberbach ni una atra qüestió interessant, a banda de la hipòtesis de Riemann. Un dels objectius estratègics de Hilbert va ser posar l'àlgebra conmutativa i la teoria de funcions complexes al mateix nivell; açò, no obstant, duria 50 anys (i encara no ha resultat en un canvi de llocs).

Hilbert tenia un chicotet grup de parells: Adolf Hurwitz i Hermann Minkowski eren abdós amics propencs i iguals intelectuals. Hi ha un guiny a la geometria de números de Minkowski en el problema 18, i al seu treball en les formes quadràtiques en el problema 11. Hurwitz va ser el gran desenrollador de la teoria de la superfície de Riemann. Hilbert va usar l'analogia del cos de funcions, una guia a la teoria algebraica de números per mig de l'us d'anàlecs geomètrics, per a desenrollar la teoria del cos de classes dins de la seua pròpia investigació, i açò queda reflectit en el problema 9, fins a cert punt en el problema 12, i en els problemes 21 i 22. Per un atre costat, l'únic rival de Hilbert en 1900 era Henri Poincaré, i la segona part del problema 16 és una qüestió de sistemes dinàmics a l'estil de Poincaré.

Dos dotzenes redones

Originalment Hilbert va incloure 24 problemes en la seua llista, pero va decidir excloure un d'ells de la publicada. El "problema vigèsim quarto" (en la teoria de la demostració, sobre un criteri de simplicitat i métodos generals) lo redescubrió en l'any 2000 l'historiador alemà Rüdiger Thiele, dins de les notes manuscrites originals de Hilbert.

Resum

Dels problemes de Hilbert clarament formulats, els problemes 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 i 20 tenen una solució acceptada per consens. Per un atre costat, els problemes 1, 2, 5, 9, 15, 18*, 21 i 22 tenen solucions d'acceptació parcial, pero existix certa controvèrsia en referència a si la solució resol realment el problema.

En el 18 indica que la solució a l'equació de Kepler és una demostració assistida per computadora, una noció anacrònica per a un problema de Hilbert i controvertida fins a cert punt degut a que un llector humà no pot verificar-la en temps raonable.

Açò deixa sense resoldre el 8 (la hipòtesis de Riemann) i el 12, abdós dins de la teoria de números. En esta classificació els 4, 6 i 16 són massa vagos com per a que algun dia se'ls puga declarar resolts. El problema 24 retirat també cauria en esta classe.

Llista de Problemes

Els vintitrés problemes de Hilbert són els següents:

Problema	Explicació concisa	Estat del problema
ORD	La hipòtesis del continu (açò és, no existix conjunt el tamany del qual estiga estrictament entre el dels racionals i el dels número real).	S'ha provat l'impossibilitat de provar-ho com a cert o fals per mig dels axioma de Zermelo-Fraenkel. No hi ha consens en referència a considerar açò com a solució al problema.
2.º	Provar que els axiomas de l'aritmètica són consistents (açò és, que l'aritmètica és un sistema formal que no supon una contradicció).	Parcialment resolt: hi ha els qui sostenen que s'ha demostrat impossible d'establir en un sistema consistent, finitista i axiomàtic; no obstant, Gentzen va provar en 1936 que la consistència de l'aritmètica es deriva del bon fonament de l'ordinal ${ϵ}_0$, un fet subjecte a l'intuïció combinatòria.
ORD	Donats dos poliedres d'igual volum, ¿és sempre possible tallar el primer en una cantitat finita de peces polièdriques que puguen ser ensambladas de modo que quede armat el segon?	Resolt. Resultat: no, provat usant invariantes de Dehn.
4.º	Construir totes les mètriques a on les rectes siguen geodèsicas.	Massa vago per a decidir si s'ha resolt o no.
5.º	¿Són els grups continus grups diferencials de forma automàtica?	Resolt per Andrew Gleason (1952).
6.º	Axiomatizar tota la física.	La mecànica clàssica: Hamel (1903). La termodinàmica: Carathéodory (1909). La relativitat especial: Robb (1914) i Caratheodory (1924) independentment. La teoria de provabilitats: Kolmogórov (1930). La teoria quàntica de camps: Wightman a finals dels anys 1950.
7.º	¿És a b transcendental, sent a ≠ 0,1 algebraic i b irracional algebraic?	Resolt. Resultat: sí, ilustrat pel teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider.
8.º	La hipòtesis de Riemann (la part real de qualsevol zero no trivial de la funció zeta de Riemann és ½) i la conjectura de Goldbach (cada número par major que 2 es pot escriure com la suma de dos número primo).	Sense resoldre.
9.º	Trobar la llei més general del teorema de reciprocitat en qualsevol cos numèric algebraic.	Parcialment resolt.
10.º	Trobar un algoritme que determine si una equació diofántica polinòmica donada en coeficients sancers té solució sancera.	Resolt. Resultat: El teorema de Matiyasevich (1970) implica que no existix tal algoritme.
11.º	Resoldre les formes quadràtiques en coeficients numèrics algebraics.	Parcialment resolt: Sobre els número racional: Hasse (1923-1924). Sobre els número entero: Siegel en els anys 1930.
12.º	Estendre el teorema de Kronecker-Weber sobre extensions abelianas dels número racional a qualsevol cos numèric de base.	Sense resoldre.
13.º	Resoldre totes les equacions de 7.º grau usant funcions de dos paràmetros.	Resolt negativament per Vladímir Arnold i Andréi Kolmogórov en 1957.
14.º	Provar la finitud de certs sistemes complets de funcions.	Resolt. Resultat: no, en general, per un contraeixemple, Nagata (1962).
15.º	Fonament rigorós del càlcul enumerativo de Schubert.	Parcialment resolt, Van der Waerden a finals dels anys 1930.
16.º	Topología de les curves i superfícies algebraiques.	Sense resoldre.
17.º	Expressió d'una funció definida racional com cocient de sumas de quadrats.	Resolt. Resultat: es va establir un llímit superior per al número de térmens quadrats necessaris, Pfister (1967). La solució negativa en general es deu a Du Bois (1967).
18.º	¿Existix un poliedre irregular i que construïxca atres poliedres? ¿Quin és l'apilamiento compacte més dens?	Resolt.
19.º	¿Són sempre analítiques les solucions dels Lagrangianos?	Resolt per Bernstein (1904). Resultat: sí.
20.º	¿Tenen solució tots els problemes variacionales en certes condiciones de contorn?	Resolt. Ha supost un àrea important d'investigació durant el XX, culminant en les solucions al cas no llineal.
ORD	Provar l'existència d'equacions llineals diferencials que tinguen un grup monodrómico prescrit.	Resolt. Resultat: sí o no, depenent d'una formulació més exacta del problema. Segons Gray resolt de forma negativa per Anosov i Bolibruch (1994).
22º	Uniformización de les relacions analítiques per mig de funcions automórficas.	Resolt per Koebe (1907) i Poincaré independentment (1907).
ORD	Extensió dels métodos del càlcul de variacions.	Sense resoldre.

Vore també

• Problemes de Smale
• Problemes del mileni

Notes i referències

problema 2:

Lo que seguix ve de Nagel i Newman, pp. 96 i 97: "Este impressionant resultat de l'anàlisis de Godel no deuria malinterpretarse: no exclou una demostració metamatemática de la consistència de l'aritmètica. Lo que exclou és una demostració de consistència que es puga reflectir en les deduccions formals de l'aritmètica- Nota al peu 29.[Esta nota dona un eixemple de la trisecció d'un àngul (és possible, pero no en regla i compàs)]. De fet, s'han construït demostracions metamatemáticas de la consistència de l'aritmètica, sent notable la de 1936 de Gerhard Gentzen, membre de l'escola de Hilbert, i per uns atres des de llavors Nota al peu 30" [Nota 30: Descriu la demostració de Gentzen, que usa inducció transfinita; "30: la demostració de Gentzen depén de la disposició de totes les demostracions de l'aritmètica en orde llineal d'acort al seu grau de 'simplicitat'... pero l'argument de Gentzen no es pot mapear sobre el formalisme de l'aritmètica. Més encara, encara que la majoria dels estudiosos no qüestionen la cogencia de la demostració, no és finitista en el sentit de les estipulacions originals de Hilbert d'una demostració absoluta de consistència."[cursiva afegida]..."Pero estes demostracions [metamatemáticas] no poden representar-se dins del càlcul aritmètic; i, ya que no són finitistas, no alcancen els objectius proclamats pel programa original de Hilbert."

Goldstein dona una definició d'un "sistema formal finitista":

"...sistemes formals finitistas... sistemes formals en un alfabet finito o numerable (o contable) de símbols, fbds [fòrmules ben definides] de tamany finito, i regles d'inferència que només impliquen un número finito de premisses. (Els llògics també treballen en sistemes formals d'alfabets no numerables, en fbds de tamany infinit, i en demostracions d'infinites premisses."(p. 144, nota al peu 7)

Bibliografia

• Gray, Jeremy J. (2000). El repte de Hilbert. Crítica. ISBN 84-8432-465-6
• Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. ISBN 1-56881-141-1
• On Hilbert and his 24 Problems. En: Proceedings of the Joint Meeting of the CSHPM 13(2002)1-22 (26th Meeting; ed. M. Kinyon)
• Nagel, Ernest and Newman, James R., Godel's Proof, New York University Press, 1958. Una presentació maravellosa (llegible, extensiva) sobre la Demostració de Gödel, en comentaris.
• John Dawson, Jr Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel, AK Peters, Wellesley, Mass., 1997. Gran cantitat d'informació rellevant a el "programa" de Hilbert i a l'impacte de Gödel en la Segona Pregunta, l'impacte del Intuicionismo d'Arend Heyting i Brouwer en la filosofia de Hilbert. Dawson és Professor de Matemàtiques en la U. Penn State, catalogador dels artículs de Gödel per al Institute for Advanced Study de Princeton, i coeditor dels Treballs Reunits de Gödel (Collected Works)
• Rebecca Goldstein, Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel, Atles Books, W. W. Norton & Co., New York, 2005. Formalisme i Hilbert: la seua definició de "demostració finitista" està en la nota 2 del seu artícul. Els llectors deurien quedar avisats de que ella no és sempre correcta.
• Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. Colecció d'ensajos d'estudis d'experts dedicats a cada u dels 23 problemes donant émfasis als desenrolls actuals.
• Yuri Matiyasévich, Hilbert's Tenth Problem, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1993. Informe de nivell universitari escrit pel matemàtic que va completar la solució al problema.
• Torkel Franzén, Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, AK Peters, Wellesley, Mass., 2005. Informe d'un filòsof que ha dominat la matemàtica i és capaç d'explicar-ho d'una manera clara i a un nivell bàsic. L'autor tracta en els diferents punts de vista sobre les teoremes de incompletitud.

Enllaços externs

• Llistat dels 23 problemes, en descripció dels que han segut resolts
• Text original de la charrada de Hilbert, en alemà
• Traducció a l'anglés de la charrada de Hilbert de 1900
• [^{[enllaç trencat]} Detalls sobre la solució al problema 18]
• The Mathematical Gazette, març de 2000 (pàgines 2-8) "100 Years On"
• "On Hilbert's 24th Problem: Report on a New Source and Some Remarks."
• Els problemes de París
• Pàgina del dècim problema de Hilbert

• [1]
• Archivat el 20 de agost de 2016 archivat en Wayback Machine. Informació sobre els 23 Problemes de Hilbert.