Quart problema de Hilbert
En matemàtiques, el quart problema de Hilbert (un dels coneguts com vintitrés Problemes de Hilbert, publicats en 1900 pel matemàtic alemà David Hilbert) és una pregunta fonamental en geometria. En un enunciat derivat de l'original, el problema consistix en trobar - descartant isomorfismes - totes les geometria que tenen un sistema axiomàtic equivalent als de la geometria clàssica (és dir de la geometria euclídea, de la geometria hiperbòlica i de la geometria elíptica), en aquells axioma de congruència que involucren la desaparició del concepte d'àngul, i en la 'desigualtat triangular', considerada com un axioma, va agregar.
Si s'assumix ademés l'axioma de continuïtat, llavors, en el cas del pla euclídeo, s'aplega al problema plantejat per Darboux: "Determinar tots els problemes de càlcul de variacions en el pla les solucions del qual són totes les rectes del pla".[1]
Hi ha vàries interpretacions de la declaració original de Hilbert, pero seria el matemàtic alemà Georg Hamel el primer que va contribuir a la solució del quart problema de Hilbert.[2]
Una solució reconeguda va ser donada pel matemàtic ucranià Alekséi Pogorélov en 1973.[3][4] En 1976, el matemàtic armeni Rouben V. Ambartzumian va propondre una atra prova del quart problema de Hilbert.[5]
Declaració original
[editar | editar còdic]Hilbert va analisar l'existència de geometria no euclidianas i de geometria no arquimedianas:
... una geometria en la que es complixen tots els axioma de la geometria euclidiana ordinària i, en particular, tots els axioma de congruència llevat el de congruència de triànguls (o tots llevat la teorema de l'igualtat dels ànguls base en el triàngul isósceles), i en el que, ademés, s'assumix com a axioma particular la proposició de que en tot triàngul la suma de dos costats és major que el tercer.[6]
Per l'idea de que una 'llínea recta' es definix com el camí més curt entre dos punts, va mencionar cóm la congruència de triànguls és necessària per a la prova de Euclides de que una llínea recta en el pla és la distància més curta entre dos punts. Ho resumix de la forma següent:
La teorema de la llínea recta com la distància més curta entre dos punts i la teorema essencialment equivalent de Euclides sobre els costats d'un triàngul, juguen un paper important no solament en la teoria de números sino també en la teoria de superfícies i en el càlcul de variacions. Per esta raó, i perque crec que l'investigació a fondo de les condicions per a la validea d'esta teorema tirarà una nova llum sobre l'idea de distància, aixina com sobre atres idees elementals, per eixemple, sobre l'idea del pla, i la possibilitat de la seua definició per mig de l'idea de la llínea recta, "la construcció i el tractament sistemàtic de les geometria ací possibles em semblen desijables".[6]
Mètriques planes
[editar | editar còdic]
"Si dos triànguls es troben en un pla tal que les llínees que conecten els vèrtiços corresponents dels triànguls es troben en un punt, llavors els tres punts, en els que les prolongacions dels tres parells de costats corresponents dels triànguls es creuen, es troben en una llínea recta".
La condició necessària per a resoldre el quart problema de Hilbert és el requisit de que un espai mètric que satisfaça els axioma d'este problema siga desarguesiano, és dir:
- si l'espai és de dimensió 2, llavors la teorema de Desargues i el seu invers deuen ser vàlits;
- si l'espai té una dimensió major que 2, llavors qualssevol tres punts deuen estar en un pla.
Per als espais desarguesianos, Georg Hamel va demostrar que cada solució del quart problema de Hilbert es pot representar en un espai proyectivo real o en un domini convexo de si es determina la congruència dels segments per l'igualtat de les seues llongituts en una mètrica especial per a la qual les llínees de la proyectiva de l'espai són geodèsiques.
Les mètriques d'este tipo es denominen planes o proyectivas.
Per tant, la solució del quart problema de Hilbert es va reduir a la solució del problema de la determinació constructiva de totes les mètriques planes completes.
Hamel va resoldre este problema baix el supòsit d'una alta regularitat de la mètrica.[2] No obstant, com mostren eixemples simples, la classe de mètriques planes regulars és més chicoteta que la classe de totes les mètriques planes. Els axioma de les geometria baixe consideració impliquen solament una continuïtat de les mètriques. Per lo tant, per a resoldre completament el quart problema de Hilbert és necessari determinar constructivamente totes les mètriques planes contínues.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ G. Darboux, Lecons sur la theorie generale dones surfaces, V.III, Paris, 1894.
- ↑ 2,0 2,1 G. Hamel, Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kurzesten sind, Math. Ann. 57 (1903), 221—264.
- ↑ А. В. Погорелов, Полное решение IV проблемы Гильберта, ДАН СССР № 208, т.1 (1973), 46–49. English translation: A.V. Pogorelov, A complete solution of "Hilbert's fourth problem, Dokl. Acad. Nauk SSR, Vol. 208, № 1 (1973), 48–52.
- ↑ А. В. Погорелов, Четвертая Проблема Гильберта. Наука, 1974. English translation: A.V. Pogorelov, Hilbert's Fourth Problem, Scripta Séries in Mathematics, Winston and Sons, 1979.
- ↑ R. V. Ambartzumian, A note on pseudo-metrics on the plane, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete 1976, Volume 37, Issue 2, pp 145–155
- ↑ 6,0 6,1 Hilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253–297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44–63 and 213–237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437–479 [1] [2] doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3. [A fuller title of the journal Göttinger Nachrichten is Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Cuarto problema de Hilbert» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.