Decimotercer problema de Hilbert

El decimotercer problema de Hilbert (un dels coneguts com vintitrés Problemes de Hilbert, publicats en 1900 pel matemàtic alemà David Hilbert), implica provar si existix una solució per a totes les equacions de sèptim grau utilisant funcions algebraiques (variant: funcions contínues) de dos arguments. Inicialment es va presentar en el context del nomograma, i en particular en la "construcció nomográfica", un procés per mig del qual es compon una funció de vàries variables utilisant funcions de dos variables. El cas per a funcions contínues va ser resolt en 1957 per Vladímir Arnold, quan va provar el teorema de representació de Kolmogórov-Arnold, pero la variant per a funcions algebraiques seguix sense resoldre's.

Varen demostrar que qualsevol funció contínua de qualsevol número de variables es pot representar com una superposició de funcions contínues d'una i dos variables (i ademés, que en tal representació es pot prescindir de funcions contínues d'una variable, i que ademés, les funcions de dos variables prenen la forma de la suma següent):

$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{q=0}^{2n}{\Phi }_q(\sum _{p=1}^n{\psi }_{q,p}(x_p)).$

Les funcions ${\Phi }_q$ i ${\psi }_{q,p}$, sense contar zero, no requerixen més de $(n+1)(2n+1)$ sumants; i en particular, per a dos variables no més de 15, i per a tres variables no més de 28.

Introducció

Hilbert va considerar l'equació de sèptim grau

$x^7+a{x}^3+b{x}^2+cx+1=0$

i va preguntar si la seua solució, x, considerada en funció de les tres variables a, b i c, pot expressar-se com la composició d'un número finito de funcions de dos variables.

Història

Anteriorment, se sabia que les equacions de graus fins al quarto inclusivament, es poden resoldre en radicals: per a obtindre les seues solucions existixen fòrmules explícites (com el método de Cardano i el método de Ferrari per a equacions de tercer i quart graus, respectivament). Per a les equacions de graus que des del quint i superiors, el seu irresolubilidad per mig de radicals va quedar establida per mig del teorema d'Abel-Ruffini. No obstant, la transformació de Tschirnhaus permet reduir l'equació general de grau n > 4 a una forma lliure de coeficients per a $x^{n-1}$, $x^{n-2}$ i $x^{n-3}$; per a n = 5 este resultat va ser obtingut per Bring en 1786, i per al cas general per Gerard en 1834. Per lo tant, despuix d'una renormalización adicional, la resolució d'equacions de graus 5, 6 i 7 es va reduir a la resolució d'equacions de la forma

$x^5+ax+1=0$,

$x^6+a{x}^2+bx+1=0,$

$x^7+a{x}^3+b{x}^2+cx+1=0$

depenent d'un, dos i tres paràmetros, respectivament.

Hilbert va plantejar originalment el seu problema per a funcions algebraiques (Hilbert 1927, "... Existenz von algebraischen Funktionen ...", és dir, "... existència de funcions algebraiques ..."; vore també Abhyankar 1997, Vitushkin 2004). No obstant, Hilbert també va preguntar en una versió posterior d'este problema si hi ha una solució en la classe de les funcions contínues.

Una generalisació de la segona variant ("contínua") del problema és la següent pregunta: ¿Pot cada funció contínua de tres variables expressar-se com una composició d'un número finito de funcions contínues de dos variables? La resposta afirmativa a esta pregunta general va ser donada en 1957 per Vladímir Arnold, llavors de sol dèneu anys i estudiant d'Andréi Kolmogórov. Kolmogórov havia demostrat l'any anterior que qualsevol funció de vàries variables es pot construir en un número finito de funcions de tres variables. Arnold després va ampliar este treball per a demostrar que de fet solament es requerien funcions de dos variables, responent aixina a la pregunta de Hilbert quan es planteja per a la classe de les funcions contínues.

Arnold va tornar més vesprada a la versió algebraica del problema, junt en Gorō Shimura (Arnold i Shimura 1976).

Vore també

• Teorema de superposició de Kolmogórov

Referències

Bibliografia

• Shreeram S. Abhyankar, "Hilbert's Thirteenth Problem" (Enllaç trencat: decembre de 2020), Algèbre senar commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), 1–11, Sémin. Congr., 2, Soc. Math. France, Paris, 1997.
• V. I. Arnold and G. Shimura, Superposition of algebraic functions (1976), in Mathematical Developments Arising From Hilbert Problems, Volume 1, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 28 (1976), pp. 45-46.
• D. Hilbert, "Über die Gleichung neunten Grades", Math. Ann. 97 (1927), 243–250
• G. G. Lorentz, Approximation of Functions (1966), Ch. 11
• A. G. Vitushkin, "On Hilbert's thirteenth problem and related questions" (Enllaç trencat: decembre de 2020), Uspekhi Mat. Nauk 59:1 (2004), 11 24. (Translation in Russian Math. Surveys 59 (2004), no. 1, 11–25 )