Teorema d'Abel-Ruffini

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Una solució general per a qualsevol equació quadràtica es pot obtindre utilisant la fòrmula quadràtica anterior. Existixen fòrmules similars per a les equacions polinòmiques de grau 3 i 4. Pero no hi ha tal fòrmula per als polinomis de 5.º grau; la solució real -1,1673 ... fins a l'equació de quint grau d'avall no es pot escriure usant operacions aritmètiques bàsiques i les raïls n-ésimas:

$x^5-x+1=0$

En matemàtiques la teorema d'Abel-Ruffini (també conegut com a Teorema de l'impossibilitat d'Abel) enuncia que no poden resoldre's per radicals les equacions polinòmiques generals de grau igual o superior a cinc.

Archiu:Ruffini - Teoria generale delle equazioni, 1799 - 1366896.jpg

Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni, 1799

És dir, no és possible trobar les solucions de l'equació general:

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0,$

de grau superior o igual a cinc, aplicant únicament un número finito de sumas, restas, multiplicacions, divisions i extracció de raïls als coeficients de l'equació.

La teorema va ser nomenada per Paolo Ruffini, que va fer una prova incompleta en 1799, i el noruec Niels Henrik Abel que va proporcionar una prova en 1823. Évariste Galois va demostrar de forma independent la teorema en una obra que va ser publicada póstumamente en 1846.

Aclariments

El contingut d'este problema és generalment mal entés:

1. La teorema no afirma que les equacions polinòmiques de grau cinc o superior no tinguen solucions o que no puguen ser resoltes. De fet, si l'equació polinòmica té coeficients reals o complexos i permetem solucions complexes, llavors qualsevol equació polinomial té solucions; este és el teorema fonamental de l'àlgebra. Encara que estes solucions no sempre poden ser calculades exactament en un número finito d'operacions aritmètiques, poden ser-ho fins a qualsevol grau d'exactitut desijat usant métodos numèrics tals com el método de Newton-Raphson o el Método de Laguerre, i d'eixe modo no són diferents de les solucions de les equacions polinòmiques de segon, tercer i quart graus.
2. La teorema solament es referix a la forma que una solució deu prendre. El contingut de la teorema és que la solució d'una equació de grau cinc o superior no pot sempre ser expressada començant pels coeficients i usant solament finitamente les operacions de suma, multiplicació,i radicació.
3. La teorema afirma dita impossibilitat per a equacions polinòmiques de grau major o igual a cinc, pero no diu res al respecte per a equacions de graus inferiors a cinc, i per això no pot aplicar-se. Per eixemple, les solucions de l'equació de segon grau ax² + bx + c = 0 poden ser expressades en térmens d'adició, multiplicació i extracció de raïls com:

   $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

   Formes anàlogues per a les equacions polinòmiques de tercer i quart grau, usant raïls cúbiques i quartes, han segut conegudes des de el XVI.

4. Per a graus superiors o iguals a cinc, la teorema especifica que no pot resoldre's per radicals qualsevol equació pero hi ha equacions particulars que sí poden resoldre's per radicals. Aixina, el teorema de Saüch-Ruffini diu que hi ha algunes equacions de quint grau la solució del qual no pot ser expressada d'eixe modo com per eixemple l'equació x⁵ - x + 1 = 0. No obstant, algunes atres equacions de quint grau poden ser resoltes per mig de radicals, per eixemple x⁵ - x⁴ - x + 1 = 0.

1. El criteri precís que separa aquelles equacions que poden ser resoltes per mig de radicals d'aquelles que no va ser donat per Évariste Galois i és part de la Teoria de Galois: una equació polinòmica pot ser resolta per mig de radicals si i solament si la seua grup de Galois és un grup resoluble. En l'anàlisis modern, la raó per la que les equacions polinomiales de segon, tercer i quart grau poden ser resoltes per mig de radicals mentres que les equacions de grau superior no, és simplement el fet algebraic de que els grups simètrics S2, S3 i S4 són grups resolubles, mentres que Sn no és resoluble per a n ≥ 5.

Demostració

La següent demostració està basada en la Teoria de Galois. Un de les teoremes fonamentals de la teoria de Galois diu que una equació es pot resoldre en radicals si, i solament si té un Grup de Galois que es pot resoldre, llavors la demostració de la teorema d'Abel-Ruffini ve de calcular el grup de Galois del polinomi general de quint grau.

Siga $y_1$ un número real transcendent sobre el cos dels número racional $\mathbb{Q}$, i siga $y_2$ un número real transcendent sobre $\mathbb{Q}(y_1)$, i aixina fins a $y_5$ que és transcendent sobre $\mathbb{Q}(y_1,y_2,y_3,y_4)$. Estos números són cridats elements trascendentes independents sobre $\mathbb{Q}$. Siga $E=\mathbb{Q}(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)$ i siga

$f(x)=(x-y_1)(x-y_2)(x-y_3)(x-y_4)(x-y_5)\in E[x].$

Vore també

• Teoria d'equacions