Radicació

En un sistema de coordenades cartesianas s'han representat les curvas d'algunes raïls, aixina com de les seues potencies, en el interval [0,1]. La diagonal, d'equació i = x, és eix de simetria entre cada curva i la curva de la seua inversa.

En les matemàtiques, la radicació és el procés de trobar raïls d'orde n d'un número a.De modo que en els número real, es verifica que, en les raïls d'orde impar: $\sqrt[n]{a}=x$, a on n és cridat índex o orde, a és cridat radicant, i x és la raïl enèsima. I en les raïls d'orde parell: $\pm \sqrt[n]{a}=\pm x$, a on n és cridat índex o orde, a és cridat radicant, i $\pm x$ són les dos raïls enèsimes.

Les raïls d'orde dos de $a$, es diuen raïls quadrades de $a$ i s'escriuen com $\sqrt{a}$ i $-\sqrt{a}.$ També es poden denotar com $\pm \sqrt{a}$.

La raïl d'orde tres de $a$, es diu raïl cúbica de $a$ i s'escriu com $\sqrt[3]{a}.$

Les raïls d'órdens superiors es nomenen usant números ordinals, per eixemple, raïl quarta, raïl quinta, raïl sexta o raïl sèptima.

La radicació es pot considerar operació inversa a la potenciació només quan l'índex (o exponent) és impar, per eixemple: $(-2{)}^3=-8$ i $\sqrt[3]{-8}=-2$. Pero quan l'índex és parell, no es poden considerar operacions inverses, ya que per eixemple: $(-3{)}^2=9$ i $\pm \sqrt{9}=\pm 3$. Ademés de el $-3$ original, s'obté un $3$, que també és raïl.

Definició i notació

Es definix la raïl enèsima d'un número a, a on n és un número entero positiu, a qualsevol de les n soluciones reals o complexes de l'equació:

$x^n-a=0$

d'incògnita x. D'esta manera es té que:

$x^n=a$

El símbol per a les raïls quadrades (n=2), freqüentment s'escriu sense superíndex: $\sqrt{a}$ en lloc de $\sqrt[2]{a}$. Per al cas n=1 est és sempre equivalent al radicant: $\sqrt[1]{a}=a$.

Dins dels número real positius, sempre pot trobar-se una única raïl enèsima també positiva. Si el número a és negatiu llavors només existirà una raïl real quan l'índex n siga impar. La raïl enèsima d'un número negatiu no és un número real (no està definida dins dels número real) quan l'índex n és parell.

Dins dels número complejo, per a cada número z sempre és possible trobar exactament n raïls enèsimes diferents.

Fonaments matemàtics

Relació en la potenciació

La radicació d'orde n i la potenciació del mateix orde s'anulen entre sí. Prenent la definició general de raïl per a reals positius a i per a naturals n es té que:

${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$

La raïl de cert orde n d'un número és equivalent a elevar dit número a la potència inversa $\frac{1}{n}$. D'acort en les regles de potenciació,

${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a$

de manera que la radicació d'orde n pot ser interpretat en realitat com una atra forma d'expressar una potenciació d'exponent $\frac{1}{n}$.

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Singularitat de les raïls de números positius

Encara que el problema mencionat abans de trobar les raïls de números positius té realment dos solucions en distint signe quan l'índex n és parell, el símbol $\sqrt{}$ aplicat al radicant, pot vore's des d'un punt de vista analític, com una funció univaluada i per tant té que tornar un únic valor que en principi, per convenció, és per a la solució positiva. Per eixemple, l'equació $x^2=4$ té les solucions +2 i -2 pero a $\sqrt{4}$ se li assigna el valor 2 i no -2. Per a denotar al -2 s'utilisaria $-\sqrt{4}$.

$\sqrt[2n]{x^{2n}}=|x|.$

cal aclarir que també existix un enfocament de funcions multivaluadas en la qual el valor obtingut no és únic, de tal manera que $\sqrt{4}$ equival al conjunt S={-2,2}.

Raïls de números negatius

El tractament de raïls de números negatius no és uniforme. Per eixemple, de

$(-2{)}^3=-8$

es té que -2 és l'únic número real la gaveta del qual dona -8. En general, les potències d'exponent natural impar de números negatius donen de nou números negatius.

Sobre les raïls impars de números negatius, se seguix la pauta de no representar el signe negatiu dins del radicant, podent ser considerat indefinit o no permés. Prenent este criteri, la solució a l'equació

$x^3=-8$

deu representar-se com $-\sqrt[3]{8}$ i no com $\sqrt[3]{-8}$. Escrit d'esta manera, les raïls de números negatius es permeten si l'índex de la raïl és un número impar (3, 5, 7, ...), sent

$\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}$

Representar les raïls d'esta manera evita certes incompatibilitats i contradiccions en algunes propietats de les raïls que són vàlides per a radicandos positius. Una mostra d'això pot ser,

$-2=\sqrt[3]{-8}\ne \sqrt[6]{(-8{)}^2}=\sqrt[6]{64}=+2.$

La representació considerada indefinida tampoc funciona en la fòrmula

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}=\exp (\frac{1}{n}\ln a)$

ya que el logaritmo d'un número negatiu no està definit (a no pot ser negatiu).

Les raïls d'índex parell de números negatius no poden ser número real, ya que les potències d'exponent parell d'estos números mai són negatives. No existix un número real x, tal que $x^2=-1$, per lo que no es pot trobar $x=\sqrt{-1}$ dins dels número real. La necessitat de raïls de números negatius va permetre l'introducció dels número complejo. No obstant, en el domini dels número complejo les raïls de números negatius també tenen certes restriccions.

Propietats

Per lo descrit abans, les propietats de la potenciació es complixen també en la radicació. Per a que estes propietats es complixquen, s'exigix que el radicant de les raïls siga positiu.

Extensions :

es poden definir raïls en índexs de tot tipo , és dir , índex que involucren a qualsevol camp numerico.

Un dels majors problemes en l'àmbit educatiu escolar primari , és que se li sol dir als alumnes que l'índex d'una raïl deu llimitar-se únicament a ser un número natural , no obstant tenint en conte les propietats de les potenciacions podem calcular radices en índexs de qualsevol tipo de número , per eixemple :

1-raïl en indice fraccionario :

raïl en índex (1/2) de (9)

Per a resoldre esta raïl primer devem recordar una de les principals propietats de la potenciació la qual és

a^(b/c)=raïl en índex (c) de (a^b)

D'esta manera podem definir també a la següent raïl :

Raïl en índex (1/2) de (9)=

raïl en índex (1/2) de (9^1)=

9^[1/(1/2)]=9^2=81

Per lo ranto :

Raïl en índex (1/2) de (9)=81

I en general podem dir que :

raïl en índex (a/b) de (c) = c^(b/a) =

raïl en índex (a) de (c^b).

Raïl d'un producte

Eixemple:

$\sqrt{3^2\cdot 2^4}$ = $\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{2^4}$ = $\sqrt{9}\cdot \sqrt{16}=3\cdot 4=12.$

S'aplega a igual resultat de la següent manera:

$\sqrt{3^2\cdot 2^4}=\sqrt{9\cdot 16}=\sqrt{144}=12.$

Raïl d'un cocient

Eixemple:

$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ = $\frac{3}{2}.$

Raïl d'una raïl

Eixemple

$\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}}=\sqrt[3\cdot 2]{64}=\sqrt[6]{64}=2$

Potència d'una raïl

Eixemple: si m = 3 i n = 4:

${\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3=\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}$

Atres propietats

Utilisant les propietats fonamentals, es poden obtindre atres propietats, com per eixemple, el càlcul de la raïl d'un producte en el mateix radicant i distints índexs, que s'obté multiplicant els índexs de les raïls i conservant el radicant elevat a la suma dels índexs.

$\sqrt[m]{a}\cdot \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}=a^{\frac{m+n}{mn}}=\sqrt[m\cdot n]{a^{m+n}}$.

Vore també

• Raïl quadrada
• Raïl cúbica
• Raïl de l'unitat
• Funció exponencial
• Radical jerarquizado
• Racionalisació de radicals

Referències

Bibliografia

• Andoni Blanco, Suárez Bracho, Estrela i Durán Cepeda, Darío (2003) Matemàtiques Nové any. Caracas: Editorial Santillana.