Racionalisació de radicals

En Matemàtica, la racionalisació de radicals és un procés en el qual es transforma una expressió, la qual és una fracció en raïl en el denominador, a una atra equivalent sense raïl en el denominador.

També se li coneix com racionalisar una fracció en raïls en el denominador, que consistix en operar per a eliminar els radicals del denominador d'una fracció. Per a això es multiplica el numerador i el denominador per la mateixa expressió del denominador que conté l'expressió radical (solament depenent del signe, si esta, està afegint o sostraent un atre factor, per a que la mateixa no es veja afectada), de manera que en operar, s'elimine la raïl del denominador. cal resaltar que l'expressió a racionalisar pot tindre la raïl en índex major que dos (per eixemple, raïl cúbica), cantitat subradical pot ser un monomi, binomi, etc, i que l'expressió obtinguda equivalent pugues o no presentar raïls en el numerador.

Introducció

La racionalisació s'utilisava per a deixar els resultats més simplificats. Deixant solament els radicals en el numerador, es conseguix que , quan es desija realisar una aproximació més exacta del resultat de la divisió, esta no es tinga que començar de nou i es puga seguir dividint des de l'orde d'aproximació que es tinguera. Actualment, tant en les calculadoras com en els ordenadorés, els càlculs es fan en tota la precisió que es vullga en milèsimes de segon.

Operacions

Racionalisació simple

Per a racionalisar un monomi d'este tipo, es deu multiplicar el numerador i el denominador de la fracció per la raïl del denominador que el seu radicant s'eleva a la diferència entre l'índex i l'exponent. En el següent cas:

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

cal multiplicar numerador i denominador per $\sqrt{5}$:

$\frac{8}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{{(\sqrt{5})}^2}$

Despuix es rebuja la raïl quadrada del denominador ya que la cantitat subradical que és 5 elevada al quadrat pot eliminar o rebujar la raïl quadrada:

$\frac{8\sqrt{5}}{{(\sqrt{5})}^2}=\frac{8\sqrt{5}}{5}=\frac{8}{5}\sqrt{5}$

També es deu tindre en conte totes les propietats per a poder resoldre els problemes de forma més fàcil. m.t.n

Es deu anar en conte en realisar les operacions entre els radicals, puix si es té.

$\frac{8}{\sqrt{x}}$

En racionalisar, es deuria multiplicar per

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

i ací existix el risc de "sobresimplificar", oblidant que en general $\sqrt{x}\sqrt{x}\ne \sqrt{x^2}$, per a aplegar a:

$\frac{8\sqrt{x}}{\sqrt{x^2}}$

que és incorrecte, puix : $\frac{8\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^2}$

és en realitat la forma correcta.

En un eixemple es veu clarament que $\sqrt{x}\sqrt{x}\ne \sqrt{x^2}$. Prengam $x=-3$:

$\sqrt{-3}\sqrt{-3}=\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3\ne -3=3i^2={\sqrt{(-3)}}^2=\sqrt{-3}\sqrt{-3}$

a on hem fet us de l'unitat imaginària i.

Racionalisació de binomi

Per a racionalisar un binomi, es deu fer un procés similar a l'eixercici anterior, multiplicar el numerador i denominador de la fracció per l'expressió conjugada del denominador de la mateixa. En el següent eixemple:

$\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

cal multiplicar el numerador i el denominador per $\sqrt{2}-\sqrt{3}$; este resultat és el que dona el producte notable dels binomis conjugats.

$\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ '·' $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ = $\frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{{\sqrt{2}}^2-{\sqrt{3}}^2}$

$\frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{{\sqrt{2}}^2-{\sqrt{3}}^2}$ = $\frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2-3}$

$\frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{-1}$ = $-2(\sqrt{2}-\sqrt{3})$

El cas general d'un binomi en dos raïls quadrades també és fàcilment resoluble:

Més complicada és la racionalisació d'un trinomi:

Racionalisació de monomis índexs major que dos

Prenga's el següent cas, ya que tenim numeradors i denominadors fraccionats i multiplicats per índexs majors o iguals a 3.

$\frac{2}{\sqrt[5]{8a^3{b}^4}}$

Primer, totes les cantitats subradicales (si són número entero elevats que no tenen exponent) se'ls deu obtindre la raïl enèsima.

$\frac{2}{\sqrt[5]{8a^3{b}^4}}$ = $\frac{2}{\sqrt[5]{2^3{a}^3{b}^4}}$

Ara, la cantitat que deurà ser multiplicada al numerador i denominador de la fracció seguix un procediment diferent a les anteriors.

Les cantitats exponencials dels subradicales del radical per a multiplicar al numerador i denominador de la fracció serà el número de l'exponent que falta per a acostar-se a l'índex del radical. En cas que l'exponent siga major que l'índex de la raïl, la cantitat d'aquell exponent serà la que falte per a aplegar al múltiple més propenc de la raïl.

Para :$\sqrt[5]{2^3{a}^3{b}^4}$, és $\sqrt[5]{2^2{a}^{2}b}$, ya que este és el radical que en ser multiplicat pel denominador els exponents de les cantitats subradicales seran iguals a l'índex de la raïl...

Ara, es procedix a multiplicar el numerador i el denominador:

$\frac{2}{\sqrt[5]{2^3{a}^3{b}^4}}$ · $\frac{\sqrt[5]{2^2{a}^{2}b}}{\sqrt[5]{2^2{a}^{2}b}}$ = $\frac{2\sqrt[5]{2^2{a}^{2}b}}{\sqrt[5]{2^5{a}^5{b}^5}}$

Rebujant les raïls, que són d'índex 5:

$\frac{2\sqrt[5]{2^2{a}^{2}b}}{\sqrt[5]{2^5{a}^5{b}^5}}$ = $\frac{2\sqrt[5]{4a^{2}b}}{2ab}$

Simplificant, s'obté:

$\frac{2\sqrt[5]{4a^{2}b}}{2ab}$ = $\frac{\sqrt[5]{4a^{2}b}}{ab}$

Racionalisació de binomis en radical major a dos

Quan es té la diferència de dos radicals d'índex 3, cal utilisar productes notables.

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$

Prenem este producte notable.

$a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})$ $[\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}]$

Es multiplica el numerador i el denominador de la fracció pel segon factor.

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$ · $\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$

En el denominador ha quedat el producte notable. Ho canviem per la seua expressió simple i ya està.

$\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b}$

Si es tracta de la suma de dos radicals d'índex 3:

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$

Cal usar este atre producte notable.

$a+b=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})$ $[\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}]$

Es multiplica el numerador i el denominador de la fracció pel segon factor.

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$ · $\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$

En el denominador ha quedat el producte notable. Ho canviem per la seua expressió simple i ya està.

$\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b}$

Per a un binomi general d'índex n es té:

Racionalisació de polinomis d'un radical

Per a racionalisar una expressió del tipo:

Deu recórrer-se a l'àlgebra de polinomis. Definint $x=r^{1/q}$ es tracta de buscar un polinomi Q tal que:

És dir un polinomi tal que existixca un polinomi D tal que el producte de P per Q només continga potències que siguen múltiple de q:

Racionalisació àmplia

En el present cas es tracta de cocients de binomis de radicals, i en els denominadors un terme és un radical de dos nivells; per últim, es tracta del quadrat d'una suma de cocients de desenrolls en radicals.

${(\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}})}^2=2$

$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2$

$\frac{\sqrt{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=0.1(2\sqrt{3}-\sqrt{2})\sqrt{10}$

$\frac{3}{\sqrt[3]{4}-1}=\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+1$

Bibliografia

• Suárez Bracho, Estrela i Durán Cepeda, Darío (2003) Matemàtiques Nové any. Caracas: Editorial Santillana.