Fracció

Per a atres usos d'este terme vore Fracció (desambiguació).

Una fracció és una forma de representar una divisió entre dos cantitats sanceres, a on una part (numerador) indica quantes parts es prenen i l'atra (denominador) indica quantes parts iguals es dividix el tot. Les fraccions formen part dels Número racional i s'utilisen àmpliament en la vida quotidiana i en distints contexts matemàtics.

Ademés, una fracció pot intrepretarse com una operació de divisió (matemàtica) o com una forma d'expressar relacions proporcionals, com succeïx en el càlcul de percentage.

Fraccions per a estudiants de nivell bàsic

Una fracció és una manera de representar parts d'un tot.

Per eixemple: si una pizza es dividix en 4 parts iguals i prens 1, es forma l'expressió 1/4 (un quarto).

El número d'avall (denominador) indica en quantes parts es dividix el total, i el número de dalt (numerador) indica quantes parts es varen prendre del total ya dividit.

#Equivalència de fraccions
Fracció	Decimal	Percentage
1/2	0.5	50%
1/4	0.25	25%
3/4	0.75	75%

Us de fraccions en la vida quotidiana

Les fraccions s'utilisen en diverses situacions quotidianes, com:

Repartir aliments en parts iguals

Medir ingredients en receptes

Calcular descontes i proporcions.

^[1]

En l'àmbit de l'aritmètica, les fraccions també poden expressar-se en atres formes numèriques segons el context. Una conversió habitual consistix en representar una fracció com un percentage, especialment per a facilitar la comparació entre cantitats o expressar proporcions. Per a això, la fracció es convertix primer en un número decimal i posteriorment es multiplica per cent, encara que en alguns casos la conversió pot realisar-se de forma directa quan el denominador és un divisor de 100. Este procediment és freqüent en l'educació matemàtica, l'estadística i l'anàlisis de senyes.

Representació i modelización de fraccions

Representació gràfica i analítica

Sol utilisar-se la figura geomètrica (que representa l'unitat) seccionada en una cantitat de parts iguals per a mostrar el denominador, i es colorean (o ometen) les que es prenen per a distinguir la cantitat que indica el numerador.

Notació i convencions:
- En una fracció comuna, el denominador es llig com a número partitivo (eixemples: 1/4 es llig «un quarto», 3/5 es llig «tres quints»);
- Una fracció negativa és la que té valor negatiu;
- Una fracció genèrica a/b representa el producte de a pel recíproc (multiplicativo) de b, de tal modo que $a / b = a \cdot 1 / b$ ; si tant a com a b són números negatius $(- a / - b)$ , el producte és positiu, per lo que s'escriu: a/b;
- Tota expressió matemàtica escrita en esta forma rep el nom de «fracció».

L'expressió genèrica $a / b$ representa una divisió algebraica, per lo que el divisor deu ser distint de zero (b $\neq 0$ ); el cocient de la divisió admet un desenroll decimal (un número decimal, en el sistema de numeració decimal tradicional) que pot ser finito o infinit periòdic (vore Número periòdic).

Un número irracional no admet una escritura en forma de número fraccionario, o de raó, la seua expansió decimal serà infinita no-periòdica, com per eixemple el número π, el número i, el número áureo i algunes raïls quadrades i cúbiques.

Tipos de fraccions

Fracció simple, comuna o vulgar

Una fracció simple (també coneguda com a fracció comuna o fracció vulgar) és un número racional de la forma a/b, a on a i b són número entero i b≠0. ya que una fracció comuna representa un número racional, les fraccions comunes hereten totes les propietats matemàtiques dels racionals. Eixemple $\frac{3}{4}$ ; 3/4; ³/₄; (¾); fracció tres quartos: numerador 3 i denominador 4, representa al número decimal 0.75, en percentage: 75%.

Fracció pròpia i impròpia

Les fraccions comunes poden classificar-se en pròpies i impròpies. Una fracció pròpia és aquella en la que el numerador i el denominador són positius i el numerador és menor que el denominador, per eixemple $\frac{1}{3}, \frac{3}{8}, \frac{3}{4}$ . Per a enteniment bàsic, una fracció pròpia és aquella a on es prenen tantes rebanadas d'una pizza sense agarrar o menjar tota la pizza, lo que significa que tenen que sobrar rebanadas. Pel contrari, una fracció impròpia serà la fracció en a on el numerador és major o igual que el denominador. Eixemple $\frac{13}{6}, \frac{8}{8}, \frac{5}{2}$ . Per a enteniment bàsic, una fracció impròpia és aquella a on es prenen moltes rebanadas d'una pizza, tantes com per a requerir una o més pizzes, depenent de quantes rebanadas es tinguen que prendre. En general, una fracció comuna és una fracció pròpia si el valor absolut és estrictament menor que un — és dir, si la fracció és major que −1 i menor que 1 —.^[2]^[3]

Fracció mixta

Una fracció mixta o número mixto és la representació d'una fracció impròpia, en forma d'número entero i fracció pròpia; és una manera pràctica d'escriure unitats de mida (pes, temps, capacitat), receptes de cuina, etc.^[4]

Tota fracció impròpia $\frac{p}{q}$ pot escriure's com a número mixto: $A \frac{a}{b}$ , en a on $A \frac{a}{b}$ denota $A + \frac{a}{b}$ (a on $A \in ℤ, A \geq 0$ , és la part sancera). Com a eixemples:

\frac{4}{x} = \frac{1}{1} = 1 \frac{180}{270} \frac{6}{8}

«Una cucharadita i mija de...»

15.70 / 12.561 \approx 5 / 4 = 1 \frac{1}{4}

«En una hora i quarto...»

A partir d'un cert nivell d'àlgebra elemental, la notació mixta sol substituir-se per fraccions impròpies, que són més operacionals.^[5]

Raó

La raó és la comparació de dos cantitats per la seua cocient, a on es veu quàntes voltes conté una l'atra. En el cas d'número racional tota raó es pot expressar en forma de fracció i eventualment com un decimal. Generalment s'expressa com "a a b" o a:b, i correspon a la fracció a/b.

Fracció inversa

Una fracció inversa és una fracció obtinguda a partir d'una atra donada, en la que s'han invertit el numerador i el denominador, és dir, la fracció inversa d'una fracció a/b és b/a. Eixemples, $\frac{2}{3}$ i la seua fracció inversa $\frac{3}{2}$ , $\frac{1}{2}$ i la seua fracció inversa $\frac{2}{1}$ .

Un cas especial de fracció inversa és la fracció unitària, que és una fracció comuna en la qual el numerador és igual a 1 i el denominador és un sancer positiu: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ , ya que els número entero poden escriure's com una fracció en denominador igual a un. Aixina, les fraccions unitàries són els recíprocs multiplicativos dels número natural (és dir dels sancers positius). Les fraccions egipcíaques són un atre eixemple d'aplicació de les fraccions unitàries.

Fracció composta

Una fracció composta és aquella el numerador de la qual o denominador (o abdós) contenen a la seua volta fraccions o número mixto. Eixemple, $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}$ i $\frac{12 \frac{3}{4}}{26}$ són fraccions compostes. Per a reduir una fracció composta a una simple, se li assigna l'orde preferent de la divisió a la llínea divisòria major de la fracció. Eixemple:

\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{1} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}

\frac{12 \frac{3}{4}}{26} = 12 \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{26} = \frac{12 \cdot 4 + 3}{4} \cdot \frac{1}{26} = \frac{51}{4} \cdot \frac{1}{26} = \frac{51}{104}

\frac{\frac{3}{2}}{5} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{10}

\frac{8}{\frac{1}{3}} = 8 \times \frac{3}{1} = 24.

Si, en una fracció composta, no hi ha una via clara d'indicar qué llínees de la fracció prenen preferència, llavors l'expressió està formada impròpiament i és ambigua. Aixina, 5/10/20/40 és una expressió matemàtica pobremente escrita, en múltiples valors possibles.

Fracció decimal i com a percentage

Vore també: Representació decimal

Una fracció decimal és una fracció del tipo $\frac{a}{1 0^{n}}$ , és dir, una fracció el denominador de la qual és una potència de 10. Per convenció, es pren a positiva. Les fraccions decimals solen expressar-se sense denominador, en us del separador decimal, és dir, com a número decimal exacte (Eixemple: 8/10, 83/100, 83/1000 i 8/10000 s'escriuen 0.8, 0.83, 0.083 i 0.0008). Inversament, un número decimal finito (o un sancer) pot escriure's com a fracció decimal simplement multiplicant per una potència apropiada de $\frac{1 0^{n}}{1 0^{n}}$ (Eixemple: 1=10/10 1.23=123/100). Una fracció decimal no és necessàriament irreducible.

Un percentage és una forma d'expressar un número com una fracció decimal, concretament com a fracció en denominador 100. S'utilisa per a denotar el signe percentage %, que es deu escriure despuix del número al que es referix, sense deixar espai de separació. Eixemple:

\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75 % .

L'expressió d'un número per mil (1.000‰), és una manera d'expressar-ho com una fracció d'1.000, o com la dècima part d'un percentage; s'escriu en el signe ‰. Una part per billó (notat ppb) és una unitat de mida per a expressar concentracions extremadament menudes.

Casos especials

Una fracció egipcíaca és el tipo de representació de fraccions utilisat en l'Antic Egipte. Una fracció comuna positiva s'escriu per mig d'una suma de fraccions unitàries distintes, és dir que cap dels sumants té el mateix denominador, Eixemple $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ . Tot número racional positiu es pot expressar com sumixca de fraccions unitàries (és dir, com a fracció egipcíaca), si be la representació no és única. Eixemple $\frac{19}{20}$ pot escriure's com $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$ i també com $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{180}$ .

Aritmètica en fraccions

Fraccions equivalents

Dos o més fraccions són equivalents quan representen la mateixa cantitat, i s'escriuen distint. Eixemple, les fraccions $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{4}$ , $\frac{3}{6}$ i $\frac{x}{2 x}$ són equivalents, ya que representen la cantitat «un mig». Dos fraccions són equivalents si pot obtindre una a partir de l'atra, multiplicant (o dividint) el numerador i el denominador pel mateix número, és dir, per un.

Eixemple:

\frac{x}{2 x} = \frac{x}{x} \cdot \frac{1}{2}

en a on

\frac{x}{x} = 1

.

\frac{3}{6} = \frac{3}{3} \cdot \frac{1}{2}

en a on

\frac{3}{3} = 1

.

Una forma de saber si dos fraccions $a / b$ i $c / d$ són equivalents és comprovar si són iguals: les fraccions són equivalents si $a \cdot d = c \cdot b$ (l'igualtat s'obté en operar $a / b = c / d$ ).^[6]

D'esta manera, les fraccions equivalents són reducibles, ya que el numerador i el denominador no són cosins entre sí i poden ser simplificades en una fracció irreducible, en la que el numerador i el denominador són cosins entre sí. El conjunt de totes les fraccions equivalents a una fracció donada, es diu número racional, i sol representar-se per l'única fracció equivalent irreducible del conjunt. Un cas específic és quan el numerador és un múltiple del denominador, llavors, en reduir-la s'obté qualsevol número pertanyent al conjunt dels sancers, per lo que es denomina fracció aparent o sancera.

Més generalment, donada una fracció reducible (el numerador i el denominador compartixen factors comuns diferents a l'unitat), esta sempre es pot reduir (és dir, simplificar) fins a obtindre una fracció equivalent irreducible. La noció de fracció irreducible es generalisa al cos de cocients de qualsevol domini d'factorización única: tot element d'este cos pot escriure's com una fracció en la qual el numerador i el denominador són coprimos.

Comparació de fraccions

La comparació de dos fraccions s'utilisa per a comprovar quin és major. Existixen varis casos, depenent dels numeradors i els denominadors d'estes. Es diu que les fraccions són homogénees si tenen el mateix denominador i que les fraccions són heterogénees si tenen diferents denominadors.

Homogénees

Si les fraccions són homogénees — el denominador de les dos fraccions és el mateix —, la fracció en el major numerador és major que l'atra.

\frac{5}{7} > \frac{2}{7}

lloc que 5>2.

Si el numerador de les dos fraccions positives és el mateix, la fracció en el menor denominador és major que l'atra. Açò és prou natural: si es tenen dos coques iguals, una per a repartir entre més persones que l'atra, la que es repartixca entre menys persones estarà partida en porcions més grans.

\frac{2}{3} > \frac{2}{5}

lloc que 3<5.

Heterogénees

Una manera de comparar fraccions en distints numeradors i denominadors és trobar un denominador comú. Per a comparar $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ , es convertixen en fraccions equivalents $\frac{a d}{b d}$ i $\frac{b c}{b d}$ . Llavors bd és un comú denominador i els numeradors ad i bc poden ser comparats.

\frac{2}{3}

?

\frac{1}{2}

dona que

\frac{4}{6} > \frac{3}{6}

No és necessari determinar el valor del denominador comú per a ser comparades. Esta drecera és coneguda com a «multiplicació creuada». Es compara únicament ad i bc, sense calcular el denominador.

\frac{5}{18}

?

\frac{4}{17}

Multiplicant abdós parts de cada fracció pel denominador de l'atra, s'obté un denominador comú:

\frac{5 \times 17}{18 \times 17}

?

\frac{4 \times 18}{17 \times 18}

Els denominadors ara són iguals, pero no és necessari calcular el seu valor – únicament els numeradors necessiten ser comparats. ya que 5×17 (= 85) és major que 4×18 (= 72), $\frac{5}{18} > \frac{4}{17}$ .

Generalment, quan es té que calcular el denominador comú de fraccions, s'utilisa el mínim comú múltiple (mcm) dels denominadors de les fraccions originals, que el mínim denominador comú d'estes.

Comparació en l'unitat

Les fraccions poden ser major, menor o igual si es comparen en l'unitat.^[7] Per a comparar-les es procedix a comparar el numerador i el denominador de la fracció. Si el numerador és menor que el denominador, la fracció és menor que l'unitat. Si el numerador és major que el denominador, la fracció és major que l'unitat. Si el numerador és igual al denominador, la fracció és equivalent a l'unitat.

Suma i resta de fraccions

Per a sumar o restar fraccions, es distinguixen dos casos: si tenen el mateix denominador, llavors se sumen o es resten els numeradors i es deixa el denominador comú.

\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}

És possible que el resultat es puga simplificar:

\frac{7}{12} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

.

O si tenen distint denominador, cal obtindre fraccions equivalents a les fraccions donades, per a que tinguen denominador comú i després sumar o restar. Per eixemple

\frac{2}{7} + \frac{1}{3} = \frac{2 \times 3}{7 \times 3} + \frac{1 \times 7}{3 \times 7} = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = \frac{13}{21}

.

Este método es pot expressar de forma algebraica com

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a d}{b d} \pm \frac{b c}{b d} = \frac{a d \pm b c}{b d}

En realitat, no fa falta obtindre fraccions equivalents de modo que el denominador resultant siga el producte dels denominadors de les fraccions inicials. N'hi ha prou en prendre el mínim comú múltiple dels denominadors. Al final de l'operació, pot ser que faça falta realisar una atra simplificació. Açò es representaria aixina:

$\frac{2}{7} + \frac{1}{3} = \frac{6 + 7}{21} = \frac{13}{21}$

Es pren el mínim comú múltiple dels denominadors (21) i es procedix a dividir este pels mateixos denominadors i després multiplicar-ho pels seus numeradors corresponents. Aixina quedant definit el numerador del resultat (21:7=3, 3*2=6 i 21:3=7, 7*1=7. Llavors 7+6=13). Esta solament és una forma simplificada de l'anterior.

Multiplicació i divisió de fraccions

Per a multiplicar dos fraccions, basta multiplicar els numeradors per una part i els denominadors per una atra. Com a eixemple,

\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}

.

Durant l'operació, si el numerador d'una fracció i el denominador d'una atra —i viceversa— tenen algun factor comú, es pot cancelar, ya que és multiplicar i dividir per dit factor en la fracció resultant. Esta drecera es coneix com a «cancelació» i permet reduir els térmens a multiplicar. L'expressió algebraica de manera general seria

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

.

En la divisió de fraccions, el numerador de la fracció resultant és el producte del numerador de la fracció divident pel denominador de la fracció divisor, mentres que el denominador és igual al denominador de la fracció divident multiplicat pel numerador de la fracció divisor. Una atra manera d'imaginar-ho és que dividir entre un número és lo mateix que multiplicar pel invers d'eixe número, per lo que la divisió de dos fraccions és igual a la multiplicació de la primera fracció per l'invers de la segona:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

.

Fraccions en radicals

Vore també: Racionalisació de radicals

Una fracció pot contindre radicals en el seu numerador, denominador o abdós. Si el denominador conté radicals, pot ser de gran ajuda racionalisar estos, especialment si es van a realisar operacions, tals com l'adició o la comparació d'una fracció en una atra. És també convenient si la divisió té que realisar-se explícitament. Quan el denominador és una raïl quadrada, esta pot racionalisar-se per mig de la multiplicació del numerador i el denominador per la raïl del denominador. Eixemple: $\frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .

Açò també pot estendre's en el cas de que el numerador siga la raïl d'algun monomi, binomis o atres estructures algebraiques d'eixe tipo.

Fraccions algebraiques

En àlgebra, una fracció algebraica és aquella el numerador de la qual i denominador són expressions algebraiques. Per eixemple $\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}$ és una fracció el numerador de la qual és el polinomi x² i denominador és el polinomi x²-9; el valor de la fracció dependrà del valor de la variable x.

Quan el numerador i el denominador d'una fracció algebraica són polinomis, se li crida fracció racional. Estes es poden descompondre en fraccions parcials, que consistix en expressar un cocient de polinomis com sumixca de fraccions de polinomis de menor grau, sempre i quan el grau del polinomi del denominador siga estrictament major que el del numerador.

Pel contrari, les fraccions que no són racionals són les que contenen una variable baix un exponent fraccionario o una raïl. Eixemple: $\frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} - 3}$ .

Estructures més generals

Fracció contínua

AP

Es diu fracció contínua d'orde n a una expressió de la forma:

x = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{\begin{matrix} ⋱ \\ a_{n - 2} + \frac{1}{a_{n - 1} + \frac{1}{a_{n}}} \end{matrix}}}}

En a on $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n})$ és una successió de sancers positius.

Expansió de Engel

Artícul principal → Expansió de Engel.

Una expansió de Engel és una successió d'número entero positius tals que

x = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{1} a_{2} a_{3}} + \dots

Si la successió és finita, correspon a un número racional que és la representació de x en forma de fracció egipcíaca. Esta representació es pot expressar com a «variant ascendent» d'una fracció contínua com

x = \frac{1 + \frac{1 + \frac{1 + \dots}{a_{3}}}{a_{2}}}{a_{1}}

Estes estructures varen ser estudiades per Fibonacci en Liber Abaci (1202).

Història

Vore també: Història de la matemàtica

En l'Antic Egipte es calculava utilisant fraccions els denominadors de les quals són sancers positius; són les primeres fraccions utilisades per a representar les «parts d'un sancer», per mig del concepte de recíproc d'un número entero.^[8] Açò equival a considerar fraccions com: un mig, un terç, un quarto, etc., d'ahí que les sumes de fraccions unitàries es coneguen com fracció egipcíaca. Es pot demostrar ademés, que qualsevol número racional positiu es pot escriure com a fracció egipcíaca. El jeroglífic d'una boca oberta <ferixc>D21</ferixc> denotava la barra de fracció (/), i un art numèric escrit baix de la "boca oberta", denotava el denominador de la fracció.

Els babilonios utilisaven fraccions el denominador de les quals era una potència de 60. El sistema chinenc de numeració en varetes permetia la representació de fraccions. Els grecs i romans varen usar també les fraccions unitàries, l'utilisació de les quals va persistir fins a l'época medieval. Diofanto d'Aleixandria (IV) escrivia i utilisava fraccions. Posteriorment, es va introduir la «ralla horisontal» de separació entre numerador i denominador, i el numerador va deixar de restringir-se al número un solament, donant orige a les anomenades fraccions vulgars o comunes. Finalment, s'introduïxen les «fraccions decimals», en a on el denominador s'escriu com una potència de dèu.

Es creu que les fraccions decimals eren conegudes pels matemàtics chinencs en el I, i que d'ahí es va estendre el seu us a mig Oriente i Europa.^[9] J. Lennart Berggren nota que un sistema posicional en fraccions decimals va ser utilisat pel matemàtic àrap Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en el X.^[10]

Khwarizmi introduïx les fraccions en els països islàmics en el IX. La forma de representar les fraccions provenia de la representació tradicional chinenca, en el numerador situat sobre el denominador, pero sense barra separadora. Esta forma d'escritura de les fraccions en el numerador dalt i el denominador avall, sense barra horisontal, va ser utilisada també en el X per Abu'l-Hasan al-Uqlidisi i en el XV per Jamshīd al-Kāshī en el seu treball La clau de l'aritmètica.

Leonardo de Pisa (Fibonaccci) en el seu Liber Abaci (Llibre de l'Àbac), escrit en 1202, expon una teoria dels número fraccionario. Les fraccions es presenten com a fraccions egipcíaques, és dir, com sumixca de fraccions en numeradors unitaris i denominadors no repetits. Ademés, descriu el seu us i les desenrolla dins del marc modern de les séries matemàtiques.

L'us modern va ser definitivament introduït per Simon Stevin en el sigle xvi.^[11]

**Cronologia**^[12]
Any	Acontenyiment
1800 a. C.	Registre d'us de fraccions pel Imperi Babilònic.
1650 a. C.	Sistema de fraccions egipcíaques.
500-600 d. C.	Aryabhata i Brahmagupta desenrollen les fraccions unitàries.
100	Sistema chinenc de càlcul de fraccions en varetes (Suanpan).
1202	Fibonacci difon la notació en barra per a separar numerador i denominador.
1585	Teoria sobre les fraccions decimals de Simon Stevin.
1700	Us generalisat de la llínea fraccionaria (barra horisontal o oblicua).

Vore també

Fracció en el Viccionari.

Plantilla:Classificació números

Notes i referències

↑ Mabire, Bernardo (1993-01-01). LA VISIÓ DE MÈXIC I ESTATS UNITS EN ELS LLIBRES DE TEXT GRATUÏTS DE 1992 PER A l'EDUCACIÓ PRIMÀRIA, El Colege de Mèxic, pp. 461–484.
↑ Llorer. «Math Forum – Ask Dr. Math:Ca Negative Fractions Also Be Proper or Improper?». Consultat el 30 d'octubre de 2014.
↑ «New England Compact Math Resources». Archivat des d'el original, el 15 d'abril de 2012. Consultat el 30 de giner de 2016.
↑ Vivens, Vicens (1998). Matemàtiques 3. ISBN 84-316-4644-6.
↑ Teachoo, Mixed number, (en anglés).
↑ Problemes i Equacions.ISSN 2659-9899.Consultat el 1 d'octubre de 2019.
↑ (2011) Guia Caragol Integral 4 (en Espanyol), Editorial Santillana.
↑ Eves, Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. (1990). An introduction to the history of mathematics, 6th ed. edició, Philadelphia: Saunders College Pub.. ISBN 0030295580.
↑ Joseph Needham (1959). «Decimal System», Science and Civilisation in China, Volume III, Cambridge University Press.
↑ Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam», The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, Índia, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press, p. 518. ISBN 9780691114859.
↑ B. L. van der Waerden (1985). A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether, Springer-Verlag.
↑ Tony Crilly (2011). 50 coses que cal saber sobre matemàtiques, Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

Bibliografia

Stewart, Ian (2008). Història de les matemàtiques, Crítica. ISBN 978-84-8432-369-3.
Fraction en MathWorld.
Plantilla:Springer

Enllaços externs

Operacions en fraccions, sitie Eixercicis de matemàtiques.
Multiplicació de Fraccions [1] archivat en Wayback Machine. Definició, propietats i eixemples de multiplicació de fraccions
Representador de fraccions Mostra fraccions circulares en llínea.
Operacions en fraccions Definicions i eixemples de la suma, resta, multiplicació i divisió de fraccions.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Fracción» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Mabire, Bernardo (1993-01-01). LA VISIÓ DE MÈXIC I ESTATS UNITS EN ELS LLIBRES DE TEXT GRATUÏTS DE 1992 PER A l'EDUCACIÓ PRIMÀRIA, El Colege de Mèxic, pp. 461–484.

[2] Llorer. «Math Forum – Ask Dr. Math:Ca Negative Fractions Also Be Proper or Improper?». Consultat el 30 d'octubre de 2014.

[3] «New England Compact Math Resources». Archivat des d'el original, el 15 d'abril de 2012. Consultat el 30 de giner de 2016.

[4] Vivens, Vicens (1998). Matemàtiques 3. ISBN 84-316-4644-6.

[5] Teachoo, Mixed number, (en anglés).

[6] Problemes i Equacions.ISSN 2659-9899.Consultat el 1 d'octubre de 2019.

[Guia-7] (2011) Guia Caragol Integral 4 (en Espanyol), Editorial Santillana.

[eves-8] Eves, Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. (1990). An introduction to the history of mathematics, 6th ed. edició, Philadelphia: Saunders College Pub.. ISBN 0030295580.

[jnfractn1-9] Joseph Needham (1959). «Decimal System», Science and Civilisation in China, Volume III, Cambridge University Press.

[Berggren-10] Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam», The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, Índia, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press, p. 518. ISBN 9780691114859.

[van-11] B. L. van der Waerden (1985). A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether, Springer-Verlag.

[50COSES-12] Tony Crilly (2011). 50 coses que cal saber sobre matemàtiques, Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]