Fracció unitària

Una fracció unitària és un número racional escrit en forma de fracció que el seu numerador és 1 i el denominador és un número entero positiu. Les fraccions unitàries són, per tant, els inversos dels sancers positius, $\frac{1}{n}$. Eixemples: $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{42}$, etc.

Les sumes parcials $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}$ generen la série harmònica, i es va acostant a logaritmo natural ln(n) + γ a mida que n creix. Aixina que la suma de totes les fraccions unitàries és infinita.

Aritmètica

El producte de dos fraccions unitàries és una atra fracció unitària; les sumes i diferències poden ser-ho, pero en general no ho són. El cocient només és una fracció unitària si el denominador és un "múltiple" del numerador (el cas trivial és quan la fracció denominador és $\frac{1}{1}$).

• Multiplicació: $\frac{1}{m}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{mn}$
  • $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{10}$
  • $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}$
• Suma: $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n+m}{mn}$
  • $\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{7}{10}$
  • $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$
• Resta: $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{mn}$
  • $\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{10}$
  • $\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$

Séries

La suma de fraccions unitàries correspon a la suma de n térmens que són fraccions unitàries. Com a eixemples estan:

La série harmònica: $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$

La série geomètrica: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

La part fraccionaria d'un número racional positiu es pot escriure com sumixca de fraccions unitàries distintes. El resultat és una fracció egipcíaca, pero l'expressió no és única. Per eixemple, $0,8=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}$.

Vore també

• Fracció egipcíaca
• Successió de Sylvester