Expansió de Engel

La expansió de Engel d'un número real positiu x és la successió no decreixent de sancers positius $\{a_1,a_2,a_3,\dots \}$ tal que

$x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_1{a}_2{a}_3}+\cdots .$

Els número racional tenen una única expansió de Engel finita i una única expansió de Engel infinita, mentres que els número irracional tenen una única expansió de Engel infinita. Si x és racional, la seua expansió de Engel proporciona una representació de x com una fracció egipcíaca. Les expansions de Engel són cridades en honor a Friedrich Engel, qui les va estudiar en 1913.

Una expansió anàloga a la expansió de Engel, en la que térmens alternats són negatius, és cridada expansió de Pierce.

Expansions de Engel, fraccions contínues, i Fibonacci

Kraaikamp y Wu (2004) va observar que una expansió de Engel també pot ser escrita com una variant ascendent d'una fracció contínua:

$x=\frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots }{a_3}}{a_2}}{a_1}.$

Ells afirmen que les fraccions contínues ascendents tals com esta havien segut estudiades en anterioritat en Liber Abaci (1202) per Fibonacci. Esta afirmació sembla referir-se a la notació de la fracció composta de Fibonacci en la que una successió de numeradors i denominadors que compartixen la mateixa barra fraccionaria representa una fracció contínua ascendent:

$\frac{abcd}{efgh}=\frac{d+\frac{c+\frac{b+\frac{a}{e}}{f}}{g}}{h}.$

Si tal notació té tots els seus numeradors com 0 o 1, com ocorre vàries voltes en Liber Abaci, el resultat és una expansió de Engel. No obstant, les expansions de Engel com a tècnica general no sembla ser descrita per Fibonacci.

Algoritme per a calcular expansions de Engel

Per a trobar l'expansió de Engel de x, siga

$u_1=x,$

$a_k=\lceil \frac{1}{u_k}\rceil ,$

i

$u_{k+1}=u_k{a}_k-1$

a on $\lceil r\rceil$ és la funció sostre (el menor sancer no menor que r).

Si $u_i=0$ per a qualsevol i, l'algoritme es para.

Referències

• .
• .
• .
• .
• .
• .